Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
ь
I = J f(x) dx = lim<7(K).
а
Напомним, что это равенство означает следующее: для всякого числа є > 0 существует окончание bs = Ь$(є) базы В, такое, что для любого размеченного разбиения V Є Ь$(є) имеет место неравенство
WV)-i\ <е.
188- Отметим, что в предыдущем определении интеграла в качестве S = > 0 надо взять величину Si которая порождает окончание
Ьб(є).
Так как интеграл — это предел интегральных сумм по базе В, то к нему применимы теоремы о пределе функции по базе множеств. Докажем следующее важное свойство интегрируемых функций.
Теорема 2. Пусть функция /(х) интегрируема на отрезке [а, 6]. Тогда она ограничена на нем.
Доказательство. Предположим, что функция /(х) не ограничена на отрезке [а, 6]. Возьмем любое разбиение T : а = хо < Xi < • •• < хп = Ь этого отрезка такое, что Ar < S. Тогда существует отрезок Ar = [xr_i,xr], на котором функция f(x) не ограничена. Покажем, что <r(V) не ограничена. Возьмем любое число M > 0. Построим разметку V разбиения T такую, что Jcr(Vr)| > М. С этой целью точки ,..., ?r+i,.., возьмем произвольно. Положим
А
п
E /йод**
Поскольку функция f(x) не ограничена на отрезке Ar, существует точка ?г Є Ar такая, что
1/«г)1 >
M + А Axr
Отсюда имеем
W(V) |>|/«г)Д*г|-
п
Jfc=IjIfe^r
^ M + л
> —т-Axr -A = My
Axr
следовательно, <r(V) не ограничена, т.е. функция /(х) — не интегрируема. Теорема 2 доказана. Лекция 9
§ 3. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Установим критерий интегрируемости по Риману функции, ограниченной на отрезке.
Определение 1. Верхней суммой Дарбу функции f(x) на. отрезке [а, 6], отвечающей разбиению T = {xq, ..., Xn }, называется сумма
п
S(T) = ^MkAxk, k=i
где Mk = sup f{x), Ak — отрезок. [xfc-i,Xfc], a Axk — его длина. хЄД*
Нижней суммой Дарбу называется сумма
п
s(T) xjb,
Af=I
где mfe = inf /(х).
Определение 2. Число I* = inf S(T) называется верхним интегралом, а число Itf = sup 5 (T) — нижним интегралом от функции
TeA'
f(x) яа отрезке [а, 6], где А — множество всех разбиений [а, Ь]:
Теоремаї (Критерий Римана интегрируемости функции на отрезке). Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема на отрезке, небходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Iim (S(T) - s(T)) = 0.
Для доказательства этого критерия нам потребуются следующие свойства верхних и нижних сумм Дарбу.
Л е м м а 1. Для любого размеченного разбиения V имеем
B(T(V))< ct(V) < S(T(V)).
Л е м м а 2. Пусть То — любое фиксированное разбиение и а (То) — множество разметок¦ этого разбиения. Тогда
«(То)=: inf ігра SiT0)= sup a(V).
УЄа(То) Vea(T0)
190 Jl е м м а 3. Для любых неразмеченных разбиений Т\ и T2 имеем
s(T1)KS(T2).
JI е м м а 4. Для ограниченной функции верхний и нижний интегралы Im и I* существуют, причем для любого разбиения T справедливы неравенства-
<h< Г < S(T).
JI е м м а 5. Диаметры размеченного разбиения V яг отвечающего
ему неразмеченного разбиения T — T(V) совпадают, поэтому если V Є f t t bs, то T(V) € b$. Здесь bo — окончание базы размеченных разбиений
и bg — окончание базы неразмеченных разбиений, отвечающие числу
JI е м м а 6. Для любого разбиения T имеем
Г -L < S(T)-s(T) = Sl(T).
Доказательство этих утверждений не представляет большого труда. Поэтому докажем только леммы 3, 4 и 6. Начнем с леммы 3. Отметим, что при измельчении разбиения T нижняя сумма Дарбу $(Т) может разве что возрасти, а верхняя сумма S(T) разве что уменьшиться, а потому возьмем разбиение T3 = TiUTb и получим, что
*pi) < s(T3) < S(T3) < S(T2).
Лемма 3 доказана.
Доказательство леммы 4 по существу вытекает из леммы 3. Если мы образуем числовое множество М\ всех значений величин s(T) и множество M2 всех значений S(T), то утверждение леммы 3 означает, что любой элемент а Є M2 есть верхняя грань для множества М\, Но тогда наименьшая верхняя грань множества Mi, т.е. величина не превосходит а. А это означает, что U — нижняя1 грань множества M2, а по своему определению I* есть точная нижняя грань множества M2, поэтому имеем
S(T) < и < г < S(T).
Лемма 4 доказана.
Утверждение леммы 6 следует из цепочки неравенств
S(T) - s(T) > Г- s(T) > Г - U.
Утверждение остальных Tpqx лемм непосредственно следуют из определений.
191- Теперь можно перейти к доказательству критерия интегрируемости функции по Риману.
Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть lim cr(V) = I. Это значит, что для любого числа е\ > 0 найдется
Av-^O
число 61 =^i (єі) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения V с диаметром Av < имеем |Cr(Vr) — /| < Є\, т.е.
І-Єі«г(у)<І + єі. (1)
Рассмотрим произвольное неразмеченное разбиение T с условием Дт < - Имеем
s(T)= inf MV), S(T)= sup cr(V).
Vt<*{T) Vea(T)
Тогда из (1) вытекает, что
I-Ci < s(T) < /-Mь l-єі < S(T) <І + єі.
Следовательно, числа $(Т) и S(T) лежат на одном отрезке [Г— Єї, /-f ?і] длины 2єі, т.е.
IS(T)-.(ЛІ
Если мы возьмем Єї = є/З и 6 = Si(e/Z), то получим, что для всякого є > 0 существует S — ?(е) >0, такое, что для всякого разбиения T с условием Ат < <Ц?) имеем неравенство \S(T) — s(T)| < є, т.е.
