Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Забегая несколько вперед, дадим ответы на последние вопросы.
Прежде всего, заметим, что на определенный интеграл можно смотреть как на функцию верхнего (или нижнего) предела интегрирования, считая другой предел интегрирования фиксированным, т.е., если зафиксируем, скажем, число а, то при любом 6 Є (с*,/?) мы будем получать свои величины, равные значению интеграла на отрезке [а, 6]. Тем самым, определяется некоторая функция F(b), заданная на интервале (а, ?). Оказывается, что если /(х) непрерывна на (a,?), то из теоремы Ньютона - Лейбница, о которой мы будем говорить далее, следует, что функция F(x) является дифференцируемой, и, более того, она является первообразной для функции /(х), т.е. имеем F'(x) =г/(х), и, кроме того, справедливо равенство
ь
J }{х) dx = F{b) - F(a).
а
183- Пусть Fi(x) — другая первообразная для /(ж), Тогда, поскольку F1(x) = F(x) + с, где с — некоторая постоянная, то
ь
F\(b) - F1(o) = F(6) + с - F(a) - с = F{b) - F(a) = j f{x) dx
a
Другими словами, это равенство имеет место для любой первообразной из семейства, образующего неопределенный интеграл, т.е. теорема 'Ньютона - Лейбница указывает на то обстоятельство, что неопределенный и определенный интегралы — это тесно связанные между собой понятия. И для того чтобы их далее изучать, надо разобраться, какой же смысл вкладывается в понятие "площадь криволинейной трапецииЗаметим, что к этому вопросу можно подходить по разному, и в зависимости от этого у одной и той же трапеции площадь может существовать или не существовать. Но если в двух различных смыслах она существует, то всегда в обоих случаях она должна быть одной и той же величиной.
Мы уже говорили о том, что понятие "определенный интеграл" по существу сводится к определению понятия "площадь криволинейной трапециит.е. площадь фигуры, лежащей в полосе a < х < Ь, и заключенной между графиком функции у = f(x) и осью абсцисс. Другими словами, эта фигура образована множеством А точек вида
Площадь всякой плоской фигуры D будем обозначать через n{D). Заметим, что площадь любой фигуры на плоскости — это неотрицательное число. Определенный интеграл отличается от площади тем, что он равен разности площадей фигур Л и В, т.е.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
{(х,у)|а<х<6,0<у </(*)},
и множеством В
{(x,y)|a<x<fr,/(x)<y<0}.
ь
а
а не их сумме, как можно было бы ожидать.
184- Из школьного курса геометрии известны следующие простейшие свойства фигур, имеющих площадь:
1) Если Di С D2, то n{Di) < д(?>2);
2) Если Di DD2 - 0, то ^[D1 U D2) =Jjl(Di) + МОД;
3) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних его сторон.
Фигуры, составленные из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, будут иметь площадь. Такие фигуры назовем простейшими.
Теперь можно определить понятие площади криволинейной трапеции D, а значит, и понятие определенного интеграла I от функции f(x) на отрезке [а, 6] следующим образом. Здесь для простоты рассуждений рассмотрим только случай, когда функция f(x) неотрицательна.
Впишем в фигуру D и опишем вокруг нее простейшие фигуры соответственно Di и D2. Для наглядности можно положить, что функция f(x) является непрерывной. Очевидно, имеем Di С D С D2. Отметим также, что некоторые части границ фигур Di и D2 являются ступенчатыми функциями на отрезке [а, Ь]. Напомним, что функция h(x) называется ступенчатой, если на каждом промежутке (агі_і,®і), і = 0,1,..., n, а = Xo < Xi < • ¦ • < хп = Ь, она принимает постоянное значение Л,-. Пусть фигуре Di отвечает ступенчатая функция h(x), а фигуре D2 — ступенчатая функция ^(я). Тогда имеем Hx) ? f(x) < 9ІХ)- Интегралом от ступенчатой функции Л(я) на-
п
зовем величину 1(h) = h{Axi. Справедливо неравенство 1(h) < 1(g).
»=i
Рассмотрим два числовых множества А ~ {/(Л)} иВ = {ДзО}- В силу леммы об отделимости этих множеств найдется число Ii их разделяющее. Если оно единственно, то мы назовем его интегралом от функщіи f(x) на отрезке [а, 6], a саму функцию — интегрируемой
на этом отрезке.
Известно, что если числа inf 1(g) и sup 1(h) совпадают, то их
DiDD D1CP
общее значение и равно L Поэтому справедлив следующий критерий интегрируемости ограниченной функции /(я) на отрезке [а, Ь].
Теоремаї. Для того чтобы ограниченная на отрезке функция f(x) была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы для любого € > 0 существовали ступенчатые функции h(x) и д(х) с условием h(x) < f(x) < д(х), и такие, что 1(g) — 1(h) < б.
Эту теорему мы доказывать сейчас не будем, поскольку построим теорию интеграла Римана, основываясь на более традиционном подходе, и в рамках этого подхода критерий интегрируемости и будет доказан. Тем самым, покажем, что оба подхода к построению интеграла Римана дают один и тот же класс интегрируемых функций.
Отметим, также, что рассмотренный выше подход дает возможность определить понятие площади фигуры D через вписанные и описанные
185- простейшие фигуры. Подобным образом далее определим фигуры, измеримые по Жордану, и докажем, что для измеримости по Жордану криволинейной трапеции, отвечающей функции /(х), необходимо и достаточно, чтобы f(x) была интегрируема по Риману.
