Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (16.111) остается в силе при іФр, поэтому следует умножать на фг- (лг) и суммировать по І (іфр):
ъ
OO I j (t) Фі (і) dt
ФM = /(*) +MPp+ bp 2 a x—x-(16'114)
• і ^ P
i=i
ІфР
здесь член і = р пропущен. В этом решении ар остается неопределенной постоянной *.
* Аналогичное положение возникает в неоднородном линейном дифференциальном уравнении. К решению этого уравнения можно прибавить любую постоянную, умноженную на решение соответствующего однородного дифференциального уравнения. 16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
659
Упражнения
1. В уравнении Фредгольма (16.89) ядро К(х, 0—самосопряженное, или эрмитово, т. е. К{х, /)=/(*(*, /). Показать, что собственные функции ортогональны, т. е. ,ь
!
Фт (*) Фп (*) dx = 0, тф п (Xm ф Xn),
гт а
a собственные значения вещественны. 2. Решить интегральное уравнение
і
-1
методом Гильберта—Шмидта. Вообще говоря, в данном случае это нецелесообразно, поскольку уравнение легко решается с помощью разложения по полиномам Лежандра.
і
3. Дано уравнение у(х) = х-\-Х j xty(t)dt.
о
Найти у(х) в виде ряда Неймана. Определить область изменения X, в которой ряд Неймана сходится. Сравнить эти значения X со значениями, найденными из условия | X Ц ЛГмакс I <С 1-
Найти собственное значение и собственную функцию соответствующего однородного интегрального уравнения.
Разделяя переменные rf ядре, показать, что решение имеет вид у[х)~ 3*/(3-Х).
4. Для ядра К (х, O = COS (х—t) собственными функциями (ненормированными) являются COSJC и sin Jt (см. упр. 3 к разд. 16.3). Показать, что существует функция h (t), такая, что ядро К (х, s), рассматриваемое как функция s, может быть представлено интегра-2л
лом К (х, S)= j К (S, t) h (t) dt. . Доказать, что JCС*. O=S .
tl= 1 п
18.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
Уравнение Пуассона из электростатики
v*(p (p)=-p(p)ze0 (16.115)
имеет решение (см. разд. 8.6)
TW = TsrJl7%dr' (16-116? 6G0
r JlA BA I?. ИПТГ.ГРЛЛЫ1ЫЕ УРАВНЕНИЯ
В разд. 8.6 был рассмотрен бесконечный случай, когда интегрирование распространено на все пространство. Однако, вообще говоря, потенциал ф (г) можно отыскивать и для ограниченной области пространства, для чего необходимо ввести соответствующее распределение заряда на границе *.
Уравнение (16.116) представляет собой интегральное уравнение относительно р (г'), если потенциал ср (г) задан и требуется определить распределение заряда р (г').
Однако если известно распределение заряда р (г'), то уравнение (16.116) можно решать относительно потенциала ф (г).
Рассмотрим вторую задачу, которая встречается чаще, при этом под величиной р (г') будем понимать «причину», а под величиной ф (г) —«следствие», поскольку распределенный заряд порождает потенциальное поле. Значение потенциала определяется расстоянием между элементом заряда р (г') dr' и точкой наблюдения г', или, иначе говоря, влиянием элемента заряда, которое задается функцией (4л; I г — г'
По этой причине функцию (4л; I г — г'I)"1 называют функцией влияния или функцией Грина.
Для простоты ограничимся одномерным случаем. Сначала рассмотрим однородное уравнение Штурма — Лиувил-ля (см. гл. 9)
%(*) + / W-0, (16.117)
где ^ — самосопряженный дифференциальный оператор, причем
S = -S-И-E-)-и W- (16.П8)
Функция у (jc) должна удовлетворять определенным граничным условиям (см. разд. 9.1) на концах отрезка [a, b 1. Действительно, отрезок можно выбрать так, чтобы соответствующие граничные условия были удовлетворены..
Определим довольно необычную и достаточно произвольную функцию Грина G на отрезке \а, Ь] следующим ' образом:
1. G (X) = G1 (лг) для a^x<t и G (лг) - G2 (*) для t<x^b (а</<&).
* См. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. Перев. с англ. М.—Л., Гостехиздат, 1948. IG.5. ФУНКЦИИ ГРИН Л 6fi|
2. Функции Gf (х) и G2 (лг) каждая в отдельности удовлетворяет однородному (относительно искомой функции) уравнению Штурма — Лиувилля:
XG1(X) = 0 для a<x<t, XG?(x) = 0 для t<x*Cb.
(16.119)
3. Gi (лг) удовлетворяет граничным условиям задачи в точке х — a, a G2 (лг) в точке х — Ь. Для простоты возьмем однородные граничные условия, т. е. при X — а у (а) = 0, у' (а) — 0 или а у (a) -f $у' (а) = 0, аналогичные условия заданы в точке х = Ь.
4. G (х) непрерывна *, т. е.
Gi (0 = G2 (/). (16.120)
5. -Производная G' (*) разрывна *:
J-
dx
d
Г ITg^ —-TTTfT - (1бЛ21)
я(0
Подчеркнем, что первая производная имеет разрыв, а вторая не существует вовсе.
Все эти требования в конце концов приводят к тому, что G становится функцией двух переменных G (х, t). Кроме того, G (х, 0 зависит как от вида дифференциального оператора X, так и от граничных условий, которым должно удовлетворять решение у (х). Свойства функции G будут логически обоснованы, а смысл ее станет совершенно очевидным.
Предположим далее, что мы нашли функцию Грина G (х, t), обладающую всеми перечисленными свойствами, тогда решение уравнения (16.117) запишется в виде интеграла
у(X)=- J G(xt t)f(t)dt. (16.122)
