Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
^Ak(k\-k*)dk j tk' W Фк (г) dr =
= Ak' (k\ — /г'2) ~ j ^<(r)(/(r)eiftoz<fr. (16.188)
Получим отсюда в явном виде коэффициент Ak' и подставим его в интеграл (16.186)
Ф(г')= \ [Wr-^T1 \ # MU(г)eifco*dr]i|v (r')dk'.
(16.189)
Тогда, заменяя к' на к, а г на г', в согласии с уравнением (Д 6.186)
Ф (г) = j фк (г) (kl-k2)-1 dk j фї (r') U (r') eifto*' dv'.
(16.190)
Изменим порядок интегрирования:
Ф (г) = - J Gh (г, г') U(Tt) eih<*' dr', (16.191)
здесь Gh0 (г, г')—функция Грина, определенная интегралом
г / >\ [ 1HE (г') %(*) ,, /1С шо\
0H (r' r) = J —k*-kl dk' (16.192)
аналогичным полученному для дискретного набора собственных функций ряду (9.75). Интеграл (16.191) нужно сравнить с функцией Грина из уравнения Пуассона (16.165).
Для вычисления этого интеграла воспользуемся граничными условиями. Возьмем собственные функции уравнения (16.183), поскольку
dk -- /г2 dk sin 0 dO dip, (16.193)
получим
оо я 2я а
1 Ce f" PtftP cos "
Gh (г, O = ^j j j ^nzw-dVSinQdQ^dk. (16.194)
ООО «
Здесь k • (г — г') = kp cos 8, где р — T1 — г' определяет полярную ось в ^-пространстве. Интегрирование по ф дает 2я, 674
ГЛАВА IG. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
а после интегрирования по 0 получим
OO
^(r.O^J^-ftA. • (16.195)
о
Подынтегральная функция — четная по k, поэтому
OO
^r')=W J jW^kdk- (16-196)
—оо
Im к
Последнее понадобилось нам для подготовки вычисления функции Грина Gft0 (г, г') с помощью контурного интеграла. Под k и о (or >0) понимаются соответственно кр И &оР.
Разобьем интеграл на два, причем каждый из них можно записать в виде интеграла по соответствующему контуру:
т 1 ? Iieih dk .
Cl
+ (16.197)
8л2р/ J — (j2 Cz
Контуры C1 и C2 показаны на рис. 16.4. При интегрировании мы сместим сначала особые точки с вещественной оси, заменив о на о -j- /у, а затем уже после вычисления интеграла перейдем к пределу у—»0.
При положительном у внутрь контура C1 попадает особая точка k = o-\-iy, и получаем, что первый интеграл равен 2mei(0+iv)/2. Второй интеграл с особенностью в точке ? = — (a + iy) равен 2ше*<°+*У)/2. Тогда, переходя в уравнении (16.197) к пределу •у—>0, в полном согласии с результатом (16.165) имёем
Рис. 16.4. Контуры интегрирования для вычисления функции Грина.
G(г, г') =
1
it о
Jko\r-r'}
4лр " 4л I г—г'I ' (16.198)
Этот результат зависит от выбранного знака у (в данном случае положительного). Если бы мы взяли у < 0, искомая 16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
675
функция Грина содержала бы множитель е~і<т, который соответствует падающей волне. Выбор у > 0 диктуется граничными условиями.
Нужно подчеркнуть, что выражения (16.191) и (16.198) — точное решецие уравнения (16.180). Однако это уравнение, записанное, как часто говорят, в борцовском приближении, является только первым приближением к реальной физической картине.
Упражнения
1. Найти функцию Грина оператора JC=d2/dx2 с граничными условиями 1/(0) = 0, у' (1) = 0.
0тшп:0(„ 0={ ^
2. Найти функции Грина для операторов
= + //(0) = 0, //'(1) = 0,
Jgy (х) = ^ JJ^~ у (х), у(х) конечна всюду.
3. Найти функции Грина для операторов Бесселя
Ответ:
OixttJ i[(f)*-w]' '<'•
1-5г[(т)"-Н' <<х-
4. Построить функцию Грина для задачи
5. Электростатический потенциал (в системе МКСА) ср (г) = — (Z/4wo)(c-ar/r). Найти распределение электрического заряда Потенциал ф (г) стремится экспоненциально к нулю для больших г Показать, что полный заряд равен нулю.
Za2 ' е-«г
Ответ: р (r) = z6 (л)-^---—- .
6. Преобразовать дифференциальное уравнение 676
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
решение которого удовлетворяет граничным условиям у (Q)-у (со)-Qf в интегральное уравнение Фредгольма вида
OO
P-г
dt.
у{г) = \ Jo(r, t)^j-y(t)
о
Величины Vo и fc2 постоянны. Дифференциальное уравнение получается из волнового уравнения Шредингера с мезонным потенциалом.
ь
7. Найти решение уравнения Фредгольма f(x)=№ J G(*, i)(p(t)dt,
а
f> і
для которого G(x, 0 = 2 •
)1=1 п
Z K-W г
Ответ: ф (х) = Jj —— фп ^ J f ^ ^n dL
Ti=I а
8. Однородное уравнение Гельмгольца У2ф-{- Я2ф = 0 имеет собственные значения Xf и собственные функции фг\ Показать, что функция Грина, которая удовлетворяет уравнению
V2GOb r2) + X*G(rlt Г2) = (F1-F2)1 может быть представлена рядом
OO
X=I
Такой ряд называется билинейным. Если функцию Грина можно получить в замкнутой форме, то это дает возможность получить производящую функцию.
9. Воспользовавшись результатами предыдущего упражнения, показать, что функция Грина уравнения Лапласа в сферических координатах равна
TSTFT^r 2 STT1^9" ф1)/™<02 ф2)х
п, m
f ^
X
г2
і Г2 16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
677
10. Учитывая полученное в разд. 12.1 соотношение
CXD
я (rf + r| + 2r4r2 COS(O)1/2
= 2 ^n (COS(O) ^
п=0
„п+
X ' rI < r2i
.п
гП +
J- » ''2 < ГI
и разложение 1//? по собственным функциям (см. упр. 9), сформулировать теорему сложения для полиномов Лежандра или' сферических функций (рис. 16.5).
