Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
J (г-х)1"^-/)" Sinna'
16.3. РЯД НЕЙМАНА, ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА
Большинство интегральных уравнений нельзя решить с помощью интегральных преобразований, о которых шла речь в предыдущем разделе. Разработаем два более общих метода решения этих уравнений. Первый, развитый Нейманом, Лиувиллем и Вольтерра, основан на разложении искомой функции ф (*) в ряд по степеням X, где X — заданная константа. Метод пригоден всегда, когда ряд сходится.
Второй способ решения несколько ограничен по своим возможностям, поскольку для него требуется, чтобы две переменные, которые входят в ядро К (X, t), разделялись. Однако имеются два благоприятных обстоятельства: во-первых, существует очевидная связь между интегральным
42* 648 Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
уравнением и системой линейных алгебраических уравнений, и, во-вторых, этот метод сводится к определению собственных значений и собственных функций, т. е. к задаче, которую мы уже решали в разд. 4.5.
Ряд Неймана. Будем решать линейное интегральное уравнение второго рода методом последовательных приближений; рассмотрим, например, уравнение Фредгольма
ъ
Ф W = / W + Ь J К(х, 0 ф (О A, (16.56)
а
в котором / (*) Ф 0. В случае переменного верхнего предела (уравнение Вольтерра) последующий анализ сохранит силу, однако потребуются незначительные изменения. Попытаемся (ибо нет никакой уверенности, что это будет именно так) аппроксимировать искомую функцию следующим образом:
ф W «фо W = /W- (16.57)
Этот выбор совершенно не обязателен. Если мы сможем с первого раза предложить лучший выбор, безусловно, ему нужно отдать предпочтение. Первое приближение, выраженное соотношением (16.57), фактически означает, что значение интеграла или постоянной X невелико. Для улучшения первого грубого приближения функцию фо W нужно подставить обратно в интеграл, тогда
b
Фі W - / J 0 f (0 dt. (16.58)
а
Повторяя указанный процесс подстановки новых функций фд W в уравнение (16.56), в конце концов получаем последовательность
ь
Ф2 (*) = / (*) + A, j /С W f|)/(*i)Ai +
ь ь
+ V j j к (Xt U)K(tb k)f(t2)dt2dtu
а a
n
фп(*) = 2 tiui W> i=0
(16.59). 16.3. РЯД НЕЙМАНА. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА
649
где
и
Uq (д) - f (д); Ui (х) = j К (Xt tt) f (/,) dti\
b b
M*) = j" ^K(xtti)K(tuh)f(t2)dt2dtit
а о
Un (x) = J . -. I К (х, ti) К (tu t2)...
... К (tn-1» tn) • f (tn) din ... dt
Мы ожидаем, что искомое решение будет равно
п
Ф (х) = Iim ф„ (*) == Iim M
П->ОЭ П-*00 І=О
(16.60)
(16.61)
при условии сходимости бесконечного ряда. Сходимость этого ряда удобно проверить по признаку сходимости Коши, для чего запишем неравенство
IЯХ(X) I<IЯПZmbwsі I /Сиане\п\ь-а\п. (16.62)
Здесь /маис — максимальное значение функции f(x) на отрезке [atb]t а /Смаке — максимальное значение ядра K(xtt) в области, в которой оно определено в плоскости xt. Ряд сходится, если
\Ц\Кт«с\\Ь-а\<1. (16.63)
Обратим внимание, что произведение Xun маКс — член мажорантного ряда. Если этот ряд сходится, то ряд (16.61) тем более будет сходиться. Если же данное условие не выполнено, ряд (16.61) может быть как сходящимся, так и расходящимся, поэтому необходим более тонкий признак сходимости. Что же касается собственно решения уравнения, то может оказаться, что оно определяется другими методами, даже в тех случаях, когда ряд Неймана расходится.
Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение
Ф(*) = * + 4-]' (t-x)y(t)dt.
(16.64) 650
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для него последовательные приближения дают
фо (*)=*» Фі (*) = *+1/3, ф2 (*) = *+1/3-*/3 Фз (*) = *+1/3-*/3-1/32,
(16.65)
п
п
Vn(X) = X+1Z -X 2(-1)^3-8.
Перейдем теперь к пределу п—»оо и окончательно
/ ч 3 .1
Ф W=X^+T-
(16.66)
* Отметим, что полученный ряд сходится, хотя для него условие (16.63) и не выполняется. Действительно, это неравенство скорее определяет верхнюю границу X. Можно - • показать, что необходимым и достаточным условием сходимости ряда является требование | X | < | Xe I, где Xe — наименьшее собственное значение, соответствующее однородному уравнению при / (х) = 0. В рассматриваемом
примере Xe = V~3/2, что заведомо больше 1/2.
Решение уравнения Фредгольма методом Фредгольма состоит в разбиении интервала интегрирования и замене интеграла суммой. При этом одно интегральное уравнение заменяется большим числом (в принципе бесконечным) совместных линейных алгебраических уравнений.
Вырожденное ядро. Замена исходного интегрального уравнения системой алгебраических уравнений применяется всегда, когда переменные в ядре разделяются, а само ядро записывается в виде 9
где верхний предел суммы п конечен. Ядра, обладающие ука-. занным свойством, называются вырожденными. К типу вырожденных ядер принадлежат полиномы и многие элементарные трансцендентные функции, например:
п
K(X1I) = ^Mj(X)NjV), (16.67)
3=1
cos (t — x) = cos t cos X sin t sin X. (16.68) 16.3. РЯД НЕЙМАНА. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА
651
Будем считать условие (16.67) выполненным, тогда подстановка в уравнение Фредгольма второго рода дает
