Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
X X
J/'= -Ay- j (B-A')ydx+ j gdx+A (a)y0 + yr (16.19)
a a
Интересно проследить, в каком виде начальные условия попали в уравнение (16.19). Проинтегрируем уравнение еще раз, тогда
X XX
у = - j Ay dx - j j [В (t) - A' (01У (t) dt dx +
X a a ,
X X
-I-j jg(l)dtdx+lA(a)y0 + ti](x-a) f(16.20)
a a
Для приведения полученного уравнения к более компактному виду воспользуемся соотношением
XX X
j j f(t)dtdx= j (x-f)f(t)dt. (16.21)
a a a
Оно может быть проверено дифференцированием обеих частей. Действительно, в силу равенства производных исходные выражения могут отличаться друг от друга только на некоторую постоянную. Если теперь сделать предельный переход х-+ а, то эта постоянная обратится в нуль, и уравнение (16.21) доказано. Применим это соотношение к уравнению (16.20), тогда
X
у (х) = - j {A (t) + (x-t) [В (t) —А' (/)]} у (Qdt +
а
X
+ J (x~i)g(t)dt + [A(a)yQ + y\t{x-a)±yb. (16.22) 640
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Введем обозначения
К (X9 О=JC) [В (0—Л' (/)1—Л (0.
X
f (х) (х-t)g(t)dt+IA (а)уа+у',\ {х-а)+Уо,
а
(16.23)
после чего уравнение (16.22) приведется к новому:
X
y(*) = f(*)+ \K(x,t)y(t)dU (16.24)
а
которое представляет собой уравнение Вольтерра второго рода.
Пример 1. Рассмотрим уравнение линейного осциллятора
у"+ = Q (16.25)
с условиями t/(0)=0, у' (0)=1. Для этого уравнения Л(ж) = 0, В (je)=©2, g(x)=0, и исходное уравнение сведется к интегральному
X
У (х)~х-\-о2 j (t-x)y(t)dt. О
Можно проверить, что решением его служит функция у (*) = — (!/©) sinwx.
Возвратимся к уравнению линейного осциллятора (16.25), но теперь при граничных условиях
0(0) = 0, у(Ь) = 0. (16.26)
Производная г/'(0) не задана, поэтому следует изменить порядок действий. Первое интегрирование дает
X
y'=-tf\ydx + y'(Q). (16.27)
о
Проинтегрируем второй раз и опять воспользуемся формулой (16.21):
x
y=-tf^(x-t)y(t)dt + y'(Q)x. (16.28) о 16.1. ВВЕДЕНИЕ
641
Теперь наложим условие у (&) = 0, тогда
ь
to2 J (b~t)y(t)dt = by'(0). (16.29) о
Этот результат подставим опять в уравнение (16.28) и получим
X Ь
у(х) = — со2 ( (x-t)y(t)dt + o)2| j (b-t)y(t)dt. (16.30) о о
Теперь разобьем отрезок [О, Ь] на два 10, и [х, Ь].
mi
Поскольку
находим
Рис. 16.2. Ядро К (xf t).
(16.31)
X
у (х) = (0 dt + o)2 J J (b -1) у (t) dt. (16.32)
0 X
Наконец, если определить ядро следующим образом (рис. 16.2):
Г ~ (b — x), t<x, K(Xj)=I (16.33)
[у (6-0.
то
b
y(x) = tf^K(xJ)y(t)dt. (16.34)
о
Итак, мы получили уравнение Фредгольма второго рода.
1/2 41—1257 642 Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Новое ядро К 0 обладает некоторыми интересными свойствами: оно симметрично, т. е. К 0 = К (t, х), и непрерывно В ТОМ смысле, ЧТО (t/b) (Ь — х) If=X = = (xib) (b — t) Ii=*; его производная по t терпит разрыв: при переходе в положительном направлении через точку t = Xy производная дК (¦х, t)ldt имеет скачок, равный —1.
Мы вновь вернемся к этим свойствам в разд. 16.5, где будет установлена тождественность ядра К (х, t) и функции Грина.
Упражнения
1. Получить интегральное уравнение Вольтерра для случаев:
1) у" (х)—у(х)=0 с граничными условиями t/(0) — 0, у' (0) = 1;
2) у" (*) — у (х)=0 с граничными условиями у (0) = 1, у' (0) = — 1.
X X
Ответ: 1) ^=J (x—t)y(t)dt+x\ 2) у= f (x—t)y{f)dt—x+l.
о 0
2. Получить интегральное уравнение Фредгольма, соответствующее дифференциальному уравнению у" (х)—у (к)=0 с граничными условиями у (1) = 1, у(—1) = 1, двойным интегрированием и с помощью функции Грина.
1
у(*) = 1-J К (Xt t)y(t)dt, Kixt 0 =
Omeemi
-і
!(I-O(H-I)f x<tt !(i-x)(HD, x>t.
3. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в общем виде записывается как у* (х) -f-+aIу' {х)-\-ОгУ{х)=0. При заданных граничных условиях у(0) = = у (I)==O произвести двойное интегрирование и получить интегральное уравнение у (х)= ^ К (*, 0 у (0 dt с ядром
о
К(х - WO—*)-Ні(*--і)> *<*»
Wo-o+eiw, *</.
Обратим внимание, что К(х, t) симметрично и непрерывно, если A1 = O. Каким образом это свойство связано с самосопряженностью дифференциального уравнения? 16.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ФУНКЦИИ 643
16.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРОИЗВОДЯЩИЕ
ФУНКЦИИ
Не существует общего метода решения интегральных уравнений, однако в некоторых специальных случаях очень полезны методы интегральных преобразований (см. гл. 15). Перечислим здесь типы интегральных преобразований. Если
OO
ф (х) [ еи'ф (0 dt, то преобразование Фурье
у2л J
-OO
OO
ф(*) = -4= [ e-ixtty(t)dt. (16.35)
у2п J
-OO
OO
Если ф (х) = ^ е~*'<р (t) dt, то преобразование Лапласа
Y+ioo
'W=Sff J Wa- ' (16.36)
y-ioo
OO
Если ф(*) — \ (t)dt, то преобразование Меллина
V+ioo
J X-1^(I) dt. (16.37)
у—ioo
оэ
Если ф (я) = j ^ф (0 Jv (xt) dt, то преобразование Ханкеля
OO
<р(*) = J Щ (0 Jv (Xt) dt. (16.38)
