Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
l-Mf-y-ihh*- (1716>
В задачах, в которых f~f(y, ух), т. е. функция не зависит явно от х, уравнение (17.16) упрощается:
dx
или
f -у, = const. (17.18)
Очевидно, условия (17.15) или (17.16) удовлетворяются при экстремальном значении J, т. е. в этом случае условие (17.14) тоже окажется выполненным. Условие (17.15) является необходимым, но не достаточным. Курант и Роб-бинс очень остроумно иллюстрируют это, рассматривая
44-1257
682
Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
расстояние по поверхности сферы между двумя точками А и Bt лежащими на этой сфере (рис. 17.2). Пусть 1 как часть большого круга определяется из условия (17.15) (см. ниже
упр. 3). Однако оставшаяся часть большого круга, путь 2, также удовлетворяет уравнению Эйлера. Путь 2 максимален при условии, что он совпадает с большим кругом, который можно обходит^ лишь один раз; иначе говоря, путь 2 -f п полных оборотов по большому кругу — тоже решение. Если не требовать, чтобы измеряемое расстояние совпадало с частью большого круга, любое отклонение от Рис. 17.2. Экстремальные пути пути 2 будет увеличивать рас-на сфере. стояние между точками А и В.
На этом примере видно, как важно исследовать свойства решений уравнения (17.15) и ясно представлять, удовлетворяют ли полученные решения физическим условиям поставленной задачи.
Упражнения
1. Доказать эквивалентность двух форм уравнений Эйлера
~ду~1х ду~х~®' ~дх~!х
2. Вывести уравнение Эйлера, соответствующее уравнению (17.15)
При УСЛОВИИ, ЧТО f = f{yxx, УXi У» *)•
Ответ:
d> ( df \ d(df\df dx2\dyxx) dx\dyx)Tdy и' T1 (X0) = Tl Ы = % (*i) = % (X2) = о.
3. Показать, что кратчайшим расстоянием по поверхности сферы между двумя точками на ней служит дуга большого круга.
4. Вывести уравнение Эйлера, разлагая подынтегральную функцию *2
J (a) =s J / [у (х, а), ух (х, а), х] dx в ряд по степеням а. Замечание:
Xl
Использовать ряд Тейлора для двух переменных (см. разд. 5.6). Можно положить а=0 (после дифференцирования по а). 17.2. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
683
17.2. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Прямая линия. Простейшим примером использования уравнения Эйлера служит задача о нахождении кратчайшего расстояния между двумя точками в плоскости ху. Элемент расстояния равен
ds = [(dx)2 + (dy)*]i/2 = [1 + yl]l/2 dx. (17.19)
Полное расстояние J записывается через интеграл
(Х2,У2) Х2
J = j ds= j [1 +^l1y2dx. (17.20)
(»1. Vi) Xi
Сравнение с уравнением (17.1) показывает, что
f(y,y*, *) = (1+ Й)1/2- (17.21)
Подставим функцию f в уравнение Эйлера (17.16)
__L Г__1 о'
Лх L (1+й)/2 J '
или
-1—пг = C = const. (17.22)
Это условие выполняется, если ух — а = const, отсюда
у = ах + Ь. (17.23)
Таким образом, получено уравнение прямой линии. Постоянные а и b выбирают так, чтобы линия проходила через две заданные точки (х\, у і) и [x2l у г). Следовательно, уравнение Эйлера предсказывает, что кратчайшее расстояние между двумя фиксированными точками — прямая линия *.
Поверхность вращения. Теперь рассмотрим поверхность, образованную вращением кривой у (*) вокруг оси х (рис. 17.3). Известно, что концы кривой зафиксированы в точках fo, Уі) и (X2, у2). Вариационная задача заключается в отыскании такой кривой у (дг), чтобы поверхность вращения оказалась минимальной. Для элемента поверхности (см. рис. 17.3) имеем
dA =2%yds = 2ny(\ -J-у*)i/2dx, (17.24)
* Очевидно, в этом случае мы имеем экстремум. Проверка показывает, что это минимум.
44* 684 Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
тогда
xz
У- y2mj(\ -\ yl)l/2dx.
(17.25)
Xl
Опуская множитель 2я, запишем
{(у,ух,х)=у(\+у1)и\ (17.26)
Производная д(!дх — 0, поэтому прямое использование
УІ
%
Рис. 17.3. Поверхность вращения, задача о мыльной пленке.
уравнения (17.16) дает
= C1,
или
У!{\Ifxf12 = Ci.
Возведем в квадрат (17.28):
У2 - ^2 г2 til.
откуда
1+Й
Ы"1 =
Cv C1-=Ss-^MHHt
dx
Cl
dy Уу*-с'і '
(17.27)
(17.28)
(17.29)
(17.30) 17.2. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
685
Интегрируя, получаем
X = C1 Arch (у/с{) + с2.
Разрешим (17.31) относительно у
(17.31)
(17.32)
где постоянные Ci и C2 определяются из условия прохождения графика гиперболического косинуса через точки (Xit Уі) и (x2t у2). Таким образом, минимальная поверхность вращения имеет цепную линию (в результате вращения образуется- катеноид).
Мыльная пленка — минимальная поверхность. Полученную формулу следует применять с очень большой осторожностью. В этом отношении весьма полезными оказываются конкретные примеры, которые помогают лучше почувствовать некоторые тонкости. Рассмотрим эту же проблему минимальной поверхности при концевых точках (*ь Уі) = (—л:0, 1), (x2t у2) = (*о, 1). Минимальной поверхностью в этом случае оказывается мыльная пленка, натянутая на два кольца единичного радиуса, центры которых совпадают с точками х = ± х0. Задача заключается в отыскании кривой у (х). Вновь возвращаясь к формуле (17.32), видим, что вследствие симметрии задачи постоянную C2 нужно положить равной нулю. Если взять X0 = 1/2, то получится трансцендентное уравнение для определения Ci
