Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Теория переноса нейтронов. Уравнение Больцмана. Уравнение баланса выражает основное уравнение теории переноса нейтронов: рождение = потери -f утечка. Под «рождением» понимается источник S (и, fi, г) dvd fi — функция, которая описывает число нейтронов 5, возникших в 1 см3 за 1 сек, имеющих скорость в интервале от v до V + dv и летящих в направлении Q внутри телесного угла d fi.
Дополнительным источником служат столкновения нейтронов с ядрами среды, в результате которых рассеянный нейтрон попадает в заданный интервал переменных. Число актов рассеяния определяется величиной 2в (v, vf, fi, Q') <р (»', Q', г), где Is- (макроскопическая) вероятность того, что нейтрон, который характеризуется скоростью v\ и направлением Q', после рассеяния 636
>
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
будет иметь скорость V и перемещаться в направлении й; <р (u't Й', г) — нейтронный поток. Направление нейтронного потока как вектора ф = Йф совпадает с направлением скорости нейтрона, а его абсолютная величина равна числу нейтронов, пересекающих за ! сек под углом Й со скоростью V единичную площадку, которая расположена в точке г (рис. 16.1).
Интегрируя по всевозможным значениям скорости v' и по всем направлениям Й', получаем интеграл, который описывает второй член с рождением нейтронов:
j Jj Sa (и, и', Й, О') ф (и\ й\ г) do' dO\
Потери нейтронов из-за утечки равны V.<p(o, Й, г). Кроме того, общее число нейтронов в заданном интервале
скорости и направления уменьшается за счет их поглощения и рассеяния в другой интервал скорости, это дает IH0 (о) + Se (о)] ф (и, й, г). Если среда, в которой перемещаются нейтроны, не является однородной и изотропной, величины S помимо указанной зависимости от скорости или энергии нейтрона могут также зависеть от координат и углов.
Запишем уравнение баланса нейтронов в окончательном виде:
J J Sa (о, v't й, Й') ф (v\ й', г) do'd&' +S (vt Й, г) ='
= V.ф(Vt Й, г) +[Sa (V) н-Se (0)] ф (и, Й„ г). (16.5)
Таким образом, мы получили стационарное интегро-диффе-ренциальное уравнение Больцмана. В этой форме урав- 16.1. ВВЕДЕНИЕ
637
нение Больцмана почти не поддается решению. Большинство разработанных методов теории переноса основано на компромиссе между физической картиной и математическими возможностями *.
Импульсное представление в квантовой механике. Уравнение Шредингера (в обычном пространственном представлении) имеет вид
2^ W +'v W * <г)=м (1б-6)
или
(_У2 + а2)ф(г) = и(г)ф(г), (16.7)
где аг = — 2m?/u2, v (г) = — (2m/h2) V (г). Мы можем обобщить уравнение (16.7):
(_Т2 + а2)Ф(г)= ju(r, г')ф(г')^'. (16.8)
Для специального случая
»
V (г, г') = O (г') б (г -г'), (16.9)
которое описывает локальное взаимодействие, уравнение (16.8) сводится к уравнению (16.7). Применим теперь к уравнению (16.8) преобразование Фурье (см. разд. 15.6)
ф(к,=іі^ Jtw
*(г)=іі5ф(к)еЛ"л- (16|0)
Здесь для краткости введено обозначение
pl% = k (2я X волновое число). (16.11)
Умножим обе части уравнения (16.8) на eikr и проинтегрируем по г:
j (-V2-I-A2) ф (г) e-«k-'dr= j jo (г, r')i|>(r,)e-ik"dr'dr.
(16.12)
Подчеркнем, что оператор V2 действует только на ф (г). Теперь нужно к левой части уравнения применить интегрирование по частям, а в правую подставить функцию
* См. Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. M., Госатомиздат, 1961.—- Прим. перев. 638
>
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ф(г') в виде (16.10):
J (k2 н- а2) ф (г) e~ik rdr = (2л)3/2 (k2 4- а2) Ф (к) = - j j j V (г, г') Ф (к') е-4<к г"к' • r'> df drdW. (16.13) Если обозначить
f(k,k')=w|Iu(r' пe"i(k'г"к''ndr'(16-14)
уравнение (16.13) сведется к уравнению Фредгольма второго рода f
(# + а*)Ф(к)= j/(k, к')Ф(к')dk', (16.15)
где параметр а2 соответствует собственному значению.
Для специального, но важного случая локального взаимодействия применение соотношения (16.9) дает искомое ими ульсі юе п редставление
/.(k, k') = f(k-k'), (16.16)
которое эквивалентно обычному потенциалу статистического взаимодействия в обычном пространстве. Функция Ф (к) в импульсном пространстве удовлетворяет интегральному уравнению (16.15). Следует подчеркнуть, что здесь предполагалось только существование интеграла Фурье. В случае потенциала линейного осциллятора V (г) = г2 требуемый интеграл не существует. Решение уравнения (16.10) должно давать расходящиеся колебания, и Мы не сможем получить уравнение (16.15).
Часто физическая задача может быть сформулирована как с помощью дифференциального, так и с помощью интегрального уравнений. Предположим, что задано дифференциальное уравнение, которое мы хотим преобразовать в интегральное. Начнем с линейного дифференциального уравнения второго порядка
y' + A(x)jf + B(x)y = g(x) (16.17) с начальными условиями вида
У (а) = Уог у' (а) = у'9. 16.1. ВВЕДЕНИЕ
639
Проинтегрировав это уравнение, получим
X X X
у'= - j Ay'dx- J Bydxi- j gdx + y,. (16.18)
a a a
После интегрирования по частям первого интеграла справа будем иметь
