Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
4. Найти изображение функции ошибок Гаусса ф (/)=*' = 2 ^dx. V= і
Ответ: Jg{®(/))=-|- е,|/4 —Ф (-у)] • 15.7. элементарные преобразования лапласа 611
15.9. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Теорема смещения. Если в преобразовании Лапласа (15.82) сделать замену s—>s — а, то
OO OO
f (s - fl) = j g—(s-a) t F (t) dt = j Є-81leatF (t) dt = X [QatF {t)}. о о
(15.134)
Следовательно, смещение изображения на а равносильно умножению оригинала F (t) на eal, и наоборот. Этот результат оказывается очень полезным для пополнения таблиц преобразований. Из уравнения (15.90) немедленно следует, что
ff{ea'sinfc}= , (15.135)
а также
XlealCOSkt)= , s>0. (15.136)
Затухающее колебание. Полученные формулы соответствия применяются в теории колебания частицы, которая тормозится силой, пропорциональной скорости. В этом случае уравнение (15.112) дополняется членом, который соответствует торможению:
тХ" (t) + ЬХ' (t) + kX (t) = 0, (15.137)
где b —- коэффициент пропорциональности. Предположим, что первоначально частица покоилась, т. е. X (O) = Xo и Xf (O) = 0. Преобразование Лапласа данного уравнения приводит к
т [SX (s) - sX0] + Ь [SJ (s) - X0I + kx (s) = 0, (15.138)
откуда
'Податі- <15-139;>
Дополним далее знаменатель до полного квадрата:
'+^-('+ir+te-a- <i5-i4o>
39* 612 г л а.в а 15. интегральные преобразования
Если торможение невелико, b2 < 4km, последний член имеет знак плюс и может быть заменен выражением
X(S)=X0 5+Ь,т
(s + &/2m)2 + cof
у s+b/2m . у [Ь(2тщ)щ neun " (s + b/2m)2 + to? Л°(*-И/2т)2-|-Ц •
С помощью формулы (15.135) и (15.136) определяем, что
X (t) = X0e-W2m)t (cos (М +2^-sin 0^) =
я х0-^-е-<ь/2т^со5(й)^-ф), (15.142)
где tg у = Ы2тщ; (о\ = k!m. Очевидно, когда Ь—>0, полученное решение переходит в решение для гармонического осциллятора (см. разд. 15.8).
Электрические колебания в замкнутом /??С-контуре аналогичны затухающим колебаниям осциллятора (сопротивление R, индуктивность L, емкость С, последовательное включение R, L, и С). Как известно, согласно закону сохранения энергии Кирхгофа, суммарная разность потенциалов по всей цепи в любой момент времени должна равняться нулю, поэтому
t
L^ + RI+^^Idt = 0. (15.143)
Для исключения из этого уравнения операции интегрирования продифференцируем ток / по времени, тогда
Если мы теперь произведем замену I(t)-^X(t), R-*b, L-^m, С"1—>k, то получим уравнение, идентичное уравнению (15.137). Этот пример интересен тем, что он иллюстрирует тесную математическую связь различных разделов физики *,
* Подробнее см. О 1 S е її Н. F. Dynamical Analogies. N.Y., Van Nostrand, 1943. 15.7. элементарные преобразования лапласа
613
Теорема запаздывания. Умножим изображение f (s) на e"bs, 6'> О
OO OO
о-Ьв/ (s) - e-b» \ e~8tF (0 dt =^ e-8«+b>F (t) dt (15.145) о о
и положим t-\-b = %, тогда
со
e-b8/ (s) = j e_8TF(т-&) ehr. (15.146)
ь
Поскольку по предположению F (')..= О для t <. О, функция F (т — b) = О для О < т < Ь. Поэтому, не меняя
F(t)k
F(H)
-
t
Рис. 15.5. Сдвиг.
значения интеграла, можно его нижний предел сдвинуть до нуля (рис. 15.5). Затем, имея в виду, что т — переменная интегрирования, запишем
e~b9f(s) = X{F(t-b)}. (15.147)
Электромагнитные волны. Поперечная электромагнитная волна с E = Ey или Ez, распространяющаяся вдоль оси описывается волновым уравнением
02E (X, і) 1 д*Е (X, t)
дх2 Ф d? ~~ k Преобразуем это уравнение по переменной t
(15.148)
^Х{Е(х, t))-^X{E(x, f)} + \-~Е(х, а ft==a (15.149) 614 г л а.в а 15. интегральные преобразования
Если задать начальные условия в виде ?(*, 0) = 0,
= 0,
/=о
то уравнение (обыкновенное дифференциальное)
^X{E(x,t)}=^X{E(x,t)) (15.150)
имеет решение
X (Е (.X, t)} = Cje-c/*)» + с2е+<8/">\ (15.151)
Постоянные а и C2 определяются с помощью дополнительных граничных условий. Из условия ограниченности электромагнитной волны при х с» следует, что изображение тоже должно оставаться конечным, поэтому C2 — 0. Если значение волны в начале координат E (0, t) обозначить F (t), то Ci = f (s) и
X(E(x,t)) = e-<>M*f(s). (15.152)
Имея в виду результат (15.147), находим
Г F (t-Xlb), t>xlv, W=U t<x,v. (15Л53>
Дифференцируя E (х, t) и подставляя полученный результат в уравнение (15.148), убеждаемся, что это решение — правильное. Оно представляет собой волну (или импульс), движущуюся в положительном направлении х со скоростью u. Обратим внимание, что область, соответствующая X > vt, отвечает невозмущенному состоянию. За время t волна еще не дошла до указанной области. Если нас интересует случай, когда сигнал распространяется в отрицательном направлении оси х, постоянную Ci необходимо положить равной нулю, и тогда
(F(t+xlv), t> -xlv, e^ O = U t<-xlv (15Л54>
¦
будет описывать волну, бегущую в отрицательном направлении.
Дифференцирование изображения. Выберем параметр s таким, чтобы произведение функции е~8' на оригинал F (t), 15.7. элементарные преобразования лапласа
615
