Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
+ и Er^=Ec=Elj ls.9. свойства преобразования лагїлАсА
619
где
[
Er = IRR; Ec = + \ 1C dt< 5
Q0—начальный заряд на обкладках конденсатора.
4. Движение свободно падающего тела в некоторой тормозящей среде можно описать уравнением
d2X (t) . dX(t)
где сила сопротивления пропорциональна скорости. Определить X (/) и dX (I)Idt при начальных условиях X (0) = dX/dt If^o=O. 5. Доказать, что для v, равного 1 и 2,
*{/v(a()f= -V (VTO-^
Vs2 + fl2
(разложением Jv в ряд). Какие ограничения наложены на s и v? Ответ: s > 1, v > — 1.
6. Воспользоваться представлением J0(I) в виде контурного интеграла, применить преобразование Лапласа, изменить порядок интегрирования и показать, что
{/о (ОН О*2+ 1 Г1/2, *>0.
7. С помощью рекуррентных формул для функций Бесселя получить из X {/0 (*)} преобразование Лапласа функции Jn (t).
8. Показать, что X {/0 (af)} = (s2—а2)~1/2, s>a.
9. Проверить соотношения:
f/a2 4-S2)i/2„sli/2
[(a24.s2)l/2 + s]l/2 fll/2(a2 + s2)i/2 '
Jjf {n0 (а/)}—не существует, 620 Г Л A O А І5. ИнтеГ^АЛЬЙЫе Г1р?овЬАЗоёАНМ*1
10. Если функция зависит от аргумента Т/7» получаются несколько необычные изображения этих функций. Показать, что
1 ./.,/ггч! 1
^{wcos(2vat)}
s1'2
X Uo (2 V^)} = 4 ^ { vb Sh (2 v^ }
1
eft/8.
Vift""4" r 'J S3/2
11. Получить изображение решения уравнения Лагерра
tFu (0 + (1 -1) F' (t)+nF (0 =0.
(Следуем «продифференцировать изображение и применить преобразование Лапласаі к производной. В конечном результате положить л = 0.)
12. Показать, что изображение полинома Лагерра Ln (at) имеет вид:
(s—a)n
% {Ln (fl0} = -^п+Г" ¦ s>°-
13. Показать, что
J?{?t(0}=-7 ln (s +s>0'
U
co OO
Je-T C
—-— = j -j- dx.
і
14. Показать, что X j" = arcc^ ("p) • Положив в этом соотношении A = 0, доказать, что
і? {Si (0}=—— arctgs. З
15. Если F (t) периодична с периодом а, так что F (t-\-a) = F (t) для всех 0, то
а
J e~slF (0 dt
где интеграл берется только по первому периоду оригинала F (t). Доказать эту формулу.
15.10. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ
Теорема свертки * — одно из важнейших свойств преобразования Лапласа. Возьмем два изображения
JtW = S{МО} и Zi(S) = S(MO) (15-173)
* Эта же теорема доказывается с помощью интеграла Бром-вича (см. упр. 7 к разд. 15.11). 15.10. теорема свертки
621
и умножим их друг і на друга. Для простоты положим верхние пределы конечными
а а—X
h (s)-/2 (s) lim \ е-xFi (х) dx \ (у) dy. (15.174)
а-оо 0 Jq
Верхние пределы в этих интегралах выбраны так, чтобы область интегрирования (рис. 15.7, а) представляла собой треугольник (но не квадрат). Такое изменение оказывается возможным благодаря экспоненциальному спаду двух
M
У..
(0,a) (a,a)
"T і і
Щк і t I s, I I
JA I
(а,0)
(щО) t
а)
Рис. 15.7. Замена переменной:
а — плоскость ху; б — плоскость zi.
подынтегральных функций. В пределе при а оо интегрирование по светлому треугольнику не будет давать никакого вклада. Заменой переменных х = t — г, у — г область интегрирования отображается на треугольник (рис. 15.7, б). С помощью якобиана преобразуем элемент поверхности
дх ду
1 О
dt dz =
dxdy =
dt dl дх ду dz dz
1 1
dt dz (15.175)
или dxdy = dt dz. С учетом этого уравнение (15.174) приобретет вид
t.
(s).Z2(S)-Iim f e~ef \ Fi(t-z)Fz(z)dzdt =
a-oo J ^
t
^x{^Fl(t-z)Fz(z)dz'j . (15.176) 622 Г Л Afe А 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Для удобства обозначим этот интеграл символом t
j F1 (t - z) F2 (z) dz = F1 ¦ F2 (15.177)
о
и назовем его сверткой по аналогии со сверткой из теории преобразования Фурье (см. разд. 15.5). Если сделать замену w = t—z, то окажется, что,
F1^F2-F2* F1, (15.178)
здесь очевидна симметричность соотношения. Выполнив обратное преобразование, найдем также
t
X-1U1(S)-Ms))= ^Fi(I-Z)F2(Z)lIZ. (15.179)
О
Это выражение пригодно для получения новых формул преобразования. Одно из его приложений связано с решением интегральных уравнений (гл. 16).
Вынужденные колебания с затуханием. Рассмотрим частицу массой т, которая закреплена на пружине и совершает затухающие колебания при одновременном действии вынуждающей силы F (0, тогда уравнение движения (15.112) примет вид
тХ" (0 + ЬХ' (t) + kX (t) = F (/). (15.180)
Начальные условия для упрощения решения возьмем в форме X (0) = X' (0) = 0, а затем преобразуем уравнение
ms2x (s) + bsx (s) + kx (s) = f (s) (15.181)
или
«
где, как и прежде, toj =з kfm — ЬУ4тг. На основании теоремы о свертке (15.176)
t
X(t) = ~- J F (/—г) e-»/2™>« sin Co1Zd«. (15.183)
о 16.10. теорема свертки
62
Если сила имеет вид F (t) == Pb (t) *, то
Х W = e-{b/2m)t sin W1/, (15.184)
где P — передаваемый импульс, а постоянная Plm — начальная скорость Xt (0).
Если F (/) — F0 sinatf, снова можно воспользоваться уравнением (15.183), однако, вероятно, целесообразнее прибегнуть к разложению на простые дроби. При / (s) = = F0(dl IS2 + W2) уравнение (15.182) перепишется иначе:
