Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
в результате чего и > с, поэтому сразу же возникает вопрос: а не может ли сигнал распространяться со скоростью, превышающей скорость света с в вакууме? Этот вопрос имеет фундаментальное значение в специальной теории относительности.
Необходимо решить волновое уравнение
X{F(t)} = f(s).
(15.214)
I
дЦ 1 дЦ
(15.215)
дх2 1)2 ' #2 ' 16.11. обратное преобразование лапласа 631
которое описывает гармоническое колебание, возникшее в начале координат в нулевой момент времени. Поскольку мы имеем дело с рассеивающей средой, скорость v будет зависеть от угловой частоты. Остановимся, например, на плоской волне с угловой частотой со, падающей на заслонку, которая помещена в начале координат. В момент / = O
\
n
\
\
\
-1(0
/
У
у
/
t<0
/
/
/
/
-ш
\
\
S
\
t>0
Рис. 15.12. Возможные варианты замкнутого
контура.
заслонка мгновенно открывается, и волна начинает распространяться дальше вдоль положительного направления оси X.
Построим теперь решение уравнения (15.215) в области X >0. Для этой цели удобно воспользоваться интегралом Коши (контуры показаны на рис. 15.12):
1 vV00 e« f * <
у—ioo
Это выражение в точности совпадает с обратным преобразованием Лапласа, в чем можно убедиться, взяв функцию
ГО, /<0,
fW-Ie--, />о (15-217)
и применив к ней преобразование Лапласа. Изображение окажется равным
f(s) = l/(s + i©), (15.218) >
632 глава 15. интегральные преобразования
Интеграл Коши описывает изменение во времени сигнала, возникшего в момент t — 0. Для включения в решение пространственной зависимости заметим, что функция ^s (t—x/v) удовлетворяет волновому уравнению. Учитывая это, заменим / на t — xlv и перепишем решение в виде
Y-Moo і f ps(t-x/v)
*(*.0=ЕЗ J ^+IiTds (15"219)
V—ІСО
По самому смыслу вывода обратного преобразования очевидно, что переменная s соответствует переменной ю из преобразования Фурье. Следовательно, скорость волны v становится функцией s, т. е. v = v (s). Однако сейчас нас интересует лишь свойство
lim V(S)=C = const, (15.220)
I 8 |-*0О
которое следует из асимптотического поведения кривой в правой части на рис. 15.11 *.
Для вычисления контурного интеграла (15.219) с помощью теории вычетов мы можем замкнуть контур полуокружностью в правой полуплоскости, что обеспечит выполнение неравенства t — х!с < 0. Отсюда следует, что для t — х!с < 0
ф (xt t) = 0, (15.221)
т. е. скорость распространения сигнала не может превосходить скорости света с в вакууме.
Упражнения
1. Найти і?-1 {s/(s2— &2)}, используя: 1) разложение на простые дроби и 2) обратное преобразование Лапласа.
2. Найти J?~4fe2/s(s2-|~A2)}, используя: 1) разложение на простые дроби, 2) теорему о свзртке и 3) обратное преобразование Лапласа.
Ответ: F(t) = \— coskt.
3. Применив интеграл Бромвича, найти оригинал по заданному § *
изображению f (s) = s~ ^2. Заметим, что функция f (s) имеет точку ветвления при s—O (линия разреза по отрицательной полуоси х).
Ответ: F (0 = (я0~1/2.
* Условие (15.220) доказывается строго в теории аномальной дисперсии. 15.11. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 633
4. С помощью обратного преобразования Лапласа показать, что #-1{(52+1)-1/2}=г/о(0<
5. Произвести обратное преобразование Лапласа
X-1 {(S»—а»Г1/2} = /о И» Я'1 {(5- =
= av/v(af), v>~l.
6. Показать, что X~l{(Ins)/«} = — Inі—С, где C = O,5772— постоянная Эйлера.
7. Доказать теорему свертки, используя обратное преобразование Лапласа. ч
ГЛАВА 16 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
16.1. ВВЕДЕНИЕ
Уравнения, в которых неизвестная функция содержится под знаком интеграла, называются интегральными, причем, если пределы интегрирования фиксированы, будем называть такое интегральное уравнение уравнением Фред-гольма; если фиксирован только один предел — уравнением Вольтерра. Кроме того, если неизвестная функция содержится в уравнении только под знаком интеграла, будем считать его уравнением первого рода, если же она входит в уравнение еще и помимо интеграла, то оно называется уравнением второго рода.
Определения. Запишем основные типы интегральных уравнений. Уравнение Фредгольма первого рода:
ь
f (X) = j К (*,t) ф (t) dt;
а
уравнение Фредгольма второго рода:
ь
Ф (je) = N*) +Я /) ф (0 d/;
а
уравнение Вольтерра первого рода:
X
і (X)= j К (X1 t)v(t)di\
а
уравнение Вольтерра второго рода:
я
Ф (*)=/(*)+Jtf (*. ОФ(*)Я.
а
Во всех четырех случаях ф ({) — неизвестная функция; К (х, і) — ядро интегрального уравнения, причем К (х, t)
(16.1) (16.2)
(16.3)
(16.4) 16.1. ВВЕДЕНИЕ
635
и f (х) предполагаются известными. Если f (х) = 0, уравнение называется однородным.
Может возникнуть вопрос: зачем понадобились интегральные уравнения? Существует две причины, по которым необходимо рассмотреть интегральные уравнения. Во-первых, мы делали особое ударение на решении дифференциальных уравнений с определенными граничными условиями. Например, из-за граничного условия в нуле в решении уравнения Бесселя функции Неймана Nn (г) не участвуют. Граничное условие при гоо отвечает на вопрос, нужно ли в решении уравнения Бесселя мнимого аргумента сохранить функцию In (г). Интегральное уравнение связывает неизвестную функцию не только с ее значениями в соседних точках (производные), но также и с ее значениями во всей области, включая границу. Есть прямой смысл ввести граничные условия прямо в интегральное уравнение, а не подключать их на последней стадии решения. Из дальнейшего, когда мы построим ядра уравнений (см. разд. 16.5), станет ясным, что формй ядра зависит от значений на границе. Далее, интегральное уравнение компактно и в конечном итоге может оказаться более удобной и плодотворной формой записи по сравнению с дифференциальным уравнением. Во-вторых, независимо от того, нравится нам это или нет, некоторые проблемы, например диффузия и явления переноса, нельзя описать с помощью дифференциальных уравнений. Для решения этих проблем необходимо прибегать к интегральным уравнениям.
