Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
( ч fQ^ 1__1__
__ F0CQ fq'5-Ьб' . c'i+d' I /ікі«^
~ m LS2+(O2 ^(s+o^mja + cofj •
Коэффициенты a', b\ d' и с' не зависят от s. Прямые вычисления дают
а'=Icos+т W-1
[^toHf К-®8)'] .
к оэффициенты С' и d' приводят к экспоненциальному росту членов, поэтому их следует положить равными нулю. Выполняя операцию обратного преобразования, придем к установившемуся решению
X (t) --з»-T75- sin ((at—ф), (15.186)
где tg ф = 6a)/m (u)J — и2).
Условие максимальности амплитуды (резонанса) находится после дифференцирования знаменателя:
<*=«!-?-=«!--?г. (15-187)
В резонансе амплитуда становится равной F0Ibai0f откуда очевидно, что масса т начинает совершать колебания, размах которых неограниченно возрастает, если торможение невелико (6 = 0). Заметим, что мы получили три различные характеристические частоты:
9 S « Ь2
й), — й)«--S—5" 1 ' 0), = СО»--л—о" » 00O =- •
2 о 2т2 ' ~ 1 2 4т2 0 т
* Заметим, что б (J) лежит вне отрезка [0, >
24 глава 15. интегральные преобразования
Первое соотношение — условие резонанса при вынужденном колебании и наличии торможения; второе — условие резонанса свободного осциллятора при наличии торможения и третье — условие для свободного осциллятора в отсутствие торможения. Частоты совпадают только в том случае, если торможение отсутствует.
Таутохрона. Рассмотрим задачу о таутохроне, которая связана с проблемой брахистохроны (см. разд. 17.2). Она заключается в отыскании криволинейного пути, по которому частица, свободно скользя (без трения), независимо от начальной точки своего движения за один и тот же отрезок времени попадает в начало координат. В начальный момент частица покоится.
На основании закона сохранения энергии приращение кинетической энергии равно убыли потенциальной:
г
^m (-§-)'=mg(y0-y), §<0, (15.188)
где X — расстояние вдоль кривой от начала координат,
т — масса частицы; g — ускорение силы тяжести. Тогда
»
- dllVy^y = V2g dt. (15.189)
Интегрируя вдоль всего пути движения частицы (от момента / = 0 до момента t = T), получаем
у=*0 V=Vo
V2JT=- С ^= = \ =7^=. (15.190)
Ло До
По условию задачи время спуска постоянно и не должно зависеть от у0. Что же касается длины, пути X, то она является функцией высоты, скажем X = F (у), Yi
lW<(,)=/l + (?)S. (15.191,)
Отсюда, по определению свертки,
VO
VtgT = j {ya-y)-i/2F'(y)dy=y-ilz*F(y). (15.192) 15.10. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ
625
Изображение свертки двух функций равно произведению изображений, поэтому с учетом соотношения (15.91)
VYg^ = X {F (у)}-X {у-*'2} = X (F' (у)}. /i .
(15.193)
(15.194)
(15.195)
(15.196)
где c==2gl W5. Разделение переменных приводит к уравнению
dx=}fc-^-dy, (15.197)
которое выполняется, если
X = J (0 + sin0), у = J(I-COSd)., (15.198)
Эти функции в параметрическом виде определяют таутохрону-циклоиду, проходящую через начало координат (рис. 15.8).
На основе проведенного анализа можно сделать вывод, что частица, скользящая без трения вдоль кривой вниз
Рис. 15.8. Таутохрона, движение по циклоиде.
в первом квадранте (вверх по отраженной кривой во втором квадранте), совершает возвратное поступательное двц-
40—1257
Как известно, (—\l2)\ = Vn. Отсюда Обратное преобразование дает
F' (У) =
Возведем обе части этого уравнения в квадрат
\ dy ) у »
» 626 г л Afe а 15. интегральные преобразования
жение с периодом, не зависящим от ее амплитуды. Этим же свойством характеризуется и маятник с ограничителем, выполненным в форме циклоиды.
Упражнения
!. С помощью теоремы свертки доказать, что —/(?) =
S
і
= X j \ F (Jf) d* j , где f (S)=X {F(t)}. о
2. Заданы функции F(t) = ta и G(t) = tb.
і
Показать, что свертка F * G = ta+b+1 j уа (1 — y)bdy.
о
С помощью теоремы свертки доказать, что 1
W1-^=Fmnr
о
Если заменим а на (а—1) и b на (b— 1), то получим формулу Эйлера для бета-функции (см. гл. 10).
3. На незатухающий осциллятор действует вынуждающая сила F0SinG)/. Найти смещение как функцию времени. Решением будет линейная комбинация двух гармонических колебаний: одного с частотой вынуждающей силы, а другого с частотой свободного осциллятора W0 (предполагается, что X (O) = X' (0) = 0).
Ответ: X (Л— o sinoW — sin со/) .
W2 — 0)g \ ©о u )
15.11. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Выведем формулу, определяющую функцию-оригинал по ее изображению, иначе говоря, осуществляющую обратное преобразование Лапласа:
F(t) = X~l{f(s)). (15.199) <
¦
Для получения этой формулы можно использовать преобразование Фурье, для которого уже известно обратное преобразование. Однако здесь имеется некоторая трудность. Мы требовали, чтобы условием применимости преобразования Фурье к функции служило подчинение ЭТОЙ 15.11. обратное преобразование лАПлАсА
•
627
функции условиям Дирихле. В частности, должно выполняться
lim<? (<o) = 0. (15.200)
(Й-+0О
Однако, вообще говоря, функция F (t) может даже расходиться экспоненциально. Чтобы преодолеть это затруднение, выделим экспоненциальный множитель еУ* из (возможно) расходящейся функции и запишем ее в виде
