Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
О OO
f (S) = X {F (0) = Hm \ e-s< F (t) dt = ( Q-stF (t) dt. (15.82)
а^оо J J
Необходимо сделать некоторые замечания о существовании интеграла. Для выполнения (15.82) совсем не обязательно,
OO
чтобы существовал неопределенный интеграл ^F(t)dt.
о
Например, сама функция F (I) может расходиться экспоненциально при больших t. Однако если существует некоторая постоянная s0t называемая показателем роста, такая, что для достаточно больших t > t0 выполняется неравенство
\e~^F(t)\<M, (15.83)
где M > 0, то преобразование Лапласа существует для любых s> s0; отсюда следует, что F (t) может возрастать не быстрее показательной функции. Например, F (t) = е'а не удовлетворяет условию (15.83), т. е. она в указанном смысле не относится к классу функций экспоненциального типа, поэтому X {е<2} не существует.
Преобразование Лапласа может не существовать и для функций, имеющих достаточно сильную особенность в нуле;
* Иногда его называют односторонним преобразованием Лапласа, в таком случае интеграл от —оо до + оо будет называться двусторонним преобразованием. Некоторые авторы вводят допол- . нительный множитель s. Обычно берут S вещественным и положительным, ХОТЯ S может быть и комплексным при условии, что Re s> > 0. (Сама / (s) часто называется изображением функции F (/), которую, в свою очередь, называют оригиналом. В дальнейшем мы будем придерживаться этой общеприндтдй терминологии,— Прим• перев.) 15.7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 601
OO
например, интеграл j e~4indt расходится в нуле для
о
я —1, поэтому преобразование Лапласа X (tn) не существует для я < — 1.
Поскольку для двух функций F (t) и G (t), для которых существуют интегралы, выполняется равенство
X [aF (t) + bG (t)} = аХ {F (t)} + ЬХ {G (/)}, (15.84)
преобразование Лапласа X линейно.
Рассмотрим преобразование Лапласа некоторых элементарных функций. Во всех случаях будем предполагать, что F (t) = О для t < 0. Пусть F (t) — 1 для t > 0, тогда
OO
#{1}= = s> 0. (15.85)
о
Для показательной функции F(t) — eht при />0 преобразованием Лапласа будет
OO
X {ew} = I e~3tekt dt = -J^f , S > k.
(15.86)
Используя этот результат, легко получить преобразование Лапласа и других функций. Поскольку ch kt = у (ew + e~w),
shkt = j(zki — e_w), имеем для s>k
J5{ch«} = 4- (^+^) =J5^p. (15.87)
(15.88)
і
Рассмотрим функцию coskt — chikt, sinkt = —ishikt, для которых преобразования Лапласа имеют вид
' (15-89)
^ {sin (15-90)
Здесь необходимо выполнение условия s> 0. (По-дру-гому получены преобразования Лапласа этих функций 602 г л а.в а 15. интегральные преобразования
в разд. 15.8.) Наконец, для F(t)-=tn имеем X {/"} =
от
— j e"s'r dt, что совпадает с факториальной функцией, и
Следовательно,
я {И = зет. s>0. (15.91)
Рассмотренные операции сами по себе не имеют смысла до тех пор, пока мы не произведем обратного преобразования, т. е. если X {F (t)} -—f (s), то
X'1 {f(s)} = F (t). (15.92)
Вообще говоря, обратное преобразование не единственно, т. е. две функции Fi (t) и F2 (t) могут иметь одно и то же изображение / (s). Однако в этом случае Fi (t) — F2 (t) = = N (t), где N (t) — нулевая функция, такая, что <0
I N (t) dt — 0 для любого t0 > 0. Этот результат известен о
как теорема Лерча, поэтому на практике во всех физических и инженерных приложениях N (t) может быть почти
всегда положена равной нулю, после чего операция обращения становится единственной. На рис. 15.3 приведен пример нулевой функции.
Обратное преобразование можно получить двумя путями. Во-первых, в разд. 15.11 развит общий метод определения X'1, основанный на применении теории вычетов. Во-вторых, можно построить и использовать для практических вычислений таблицы оригиналов и соответствую- ' щих им изображений точно так же, как, например, пользуются таблицами логарифмов и антилогарифмов. Использование такой таблицы, в которой собраны оригиналы и изображения функций, облегчается разложением f (s) на отдельные части.
•
t
Рис. 15.3. Возможная нулевая функция. 15.7. элементарные преобразования лапласа 603
Часто изображение f (s) задают в форме g(s)fh(s)t где функции g (s) и h (S) — полиномы, которые не содержат общего множителя, причем показатель степени полинома у g (S) ниже, чем у h (s). Если h (,S) может быть представлена в виде произведения линейных и различных множителей, то из теории элементарных дробей следует, что
f (S) = + |_... +-El , (15.93)
' v 1 S-йі 1 S-O2 s—an v '
где коэффициенты Ci не зависят от s. Если один из корней, скажем аи кратный (т. е. встречается т раз), то f(s) приобретает форму
п
f M _ cI.п* , ei, т-1 і і Ч, 1 і Tl ci I W - (S_0l)m "і (S_a )то-! -Г • • • T s_fll "Г Д s_ui •
г=2
(15.94)
Наконец, если один из сомножителей имеет квадратичную форму (т. е. S2 + ps + q), то числитель не просто равен постоянной, но содержит еще и переменную S, а весь член в целом следует записать в виде (as -f b)/(s2 + ps + q). Постоянные величины, входящие в числитель простых дробей, можно определить различными способами. Например, умножим разложение (15.93) на (s — аг), тогда
