Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 166

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 185 >> Следующая


о

В действительности же аппарат интегральных преобразований не исчерпывается перечисленными четырьмя довольно специфическими формами.

Решение с помощью преобразования Фурье. Рассмотрим уравнение Фредгольма первого рода с ядром типа k(x—t):

OO

f (х) = j k(x—t)y(t) di, (16.39)

-OO

41* 644

Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

где ф (t) — неизвестная функция. Предположив существование необходимых интегралов, применим теорему свертки (см. разд. 15.5)

OO

f(x)= [ к (о Ф (0 е-ы dt. (16.40)

— 00

Функции К (t) и Ф (t)— фурье-изображения функций k(x) и ф(*) соответственно. Применив обратное преобразование к уравнению (16.40), с помощью формулы (16.35) получим

OO

JC(ОФ(0=?;- J /(Jt)ewrf*=^, (16.41)

-OO

тогда

<16-42>

и, применив еще раз обратное преобразование,

OO

=^ J Ku^lxldt- (16?43>

-00

Корректный вывод этого выражения с помощью интегрирования в комплексной плоскости проведен в книге Морса и Фешбаха. Решение в форме (16.43) в дальнейшем будет использовано в упр. 1 к разд. 16.2.

Обобщенное уравнение Абеля. Теорема свертки. В разд. 15.10 для решения интегрального уравнения, которое возникло в задаче о таутохроне, мы пользовались преобразованием Лапласа. Запишем это уравнение в несколько более общем виде

X

fW = JlAA' °<a<1 (16-44>

о ^x )

«

и применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа

X

X{f(x)} = xH - J^r dt} = X {Jt-«} X {ф (*)}. (16.45) 16.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ФУНКЦИИ 645

Здесь на последнем этапе мы воспользовались теоремой свертки (см. разд. 15.10). Из соотношения (16.45) следует

?{ф(*)Ь '1^fy* • (16-46)

Поделим обе части этого равенства на s:

— * (Ф М> = (—а)! ^ (а-1)1 (-а)! ' ^16'47)

Объединим факториалы с помощью соотношения (10.32) и вновь применим теорему свертки, в результате чего получим уравнение

T^WHnr^iju=?=?}' (16'48)

которое можно обратить с помощью формулы (15.179)

{фМЛ^Г-^Ы, (16.49)

о о ^ '

и, наконец, продифференцировав, получим

ас

sinna d С f(t) ,. па -т

VW=-Si\^zih (16-50)

Решение уравнения Абеля (см. гл. 15) есть частный случай (a = 1/2) этого более общего решения.

Производящие функции. Иногда встречаются интегральные уравнения, в которых под знаком интеграла содержится производящая функция. Пусть задано уравнение специального вида

Обратим внимание на два важных обстоятельства: 1) под знак интеграла входит производящая функция для полиномов Лежандра (1 —2xt + *2)~1/2; 2) область интегрирования [—1, II совпадает с областью ортогональности полиномов Лежандра.

Если теперь разложим знаменатель в ряд (свойство 1) и предположим далее, что неизвестная функция ф (/) может

42-1257 646

Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

быть также представлена рядом по полиномам Лежандра

1 CJO OO

f (X)=] 2 й*Р» (О S pT (0 Xrdt' (16'52)

-I п=О г= О

то, учитывая ортогональность полиномов Pn (свойство 2), можно записать, что

OO

/M=S 2?*'- (16-53)

г«= О

Коэффициенты ап определятся, если продифференцировать функцию / (*) п раз, а затем положить х — 0:

P (O) = яізщч»- (16-54)

Окончательно

OO

,^3SsjH Mр,(0. (1Ш)

Ti=O

Аналогичные результаты получаются и для других производящих функций.

Упражнения t

I. Ядро уравнения Фредгольма второго рода (16.2) имеет форм k(x — t)*. Предполагая, что требуемые преобразования существуют

OO

1 f F (t) erixt показать, чтоср(х) — —= \ --, где F [t) и/((/) —

у2л J \~У2пМ<{1)

— 00

фурье-преобразования функций f (х) и k (х) соответственно.

2. Ядро уравнения Вольтерра первого рода (16.3) имеет форму k(x~-i). Предполагая, что требуемые преобразования существуют, показать, что

¦y+ioo

?(х)=йї і

1 f fjs)

K(S)

-у—loo

exs ds,

где F{s) и /С (s) —изображения (Лапласа) оригиналов f {х) и?(х), соответственно.

3. Ядро уравнения Вольтерра второго рода (16.4) имеет форму k(x — t). Предполагая, что требуемые преобразования существуют,

* Это ядро и интервал О х < оо характерны для интегральных уравнений Винера — Хопфа. Подробнее см. в книге Морса и Фешбаха. 16.3. РЯД НЕЙМАНА, ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА

647

показать, что

V+ioo

*W=55 J Г™ ^

у — іоо

-XK (s)

4. Используя решение, найденное с помощью преобразования Лапласа (см. упр. 3), решить уравнения

ас

Ф (х)=х + j (t—х) ср (t) dt, где ф (x)=sm X, о

X

tp(x) — х- j (f —х) ф (t) dt, где ф (х) — sh X. и

Проверить полученные результаты подстановкой в исходные интегральные уравнения.

5. Уравнение Фредгольма первого рода (16.1) имеет ядро

OO

1 Vl /(Т1) (O)

Показать, что оно имеет решение ф(х)=—— У Hn (х),

у л; * п!

. п=0

где Hn (х) — полиномы Эрмита п-го порядка.

JC

6. Решить уравнение Абеля / (х)— f —0<а<1:

^ ix 'О

1) умножая обе части уравнения на (г—x)a-i и интегрируя по х в области 0<.х<г; 2) изменяя порядок интегрирования и вычисляя интеграл по X в правой части уравнения с помощью бета-функции. Замечание.

і

dx =?(l—а, а) —(—а)! (а—І)!=- 71
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed