Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
о
В действительности же аппарат интегральных преобразований не исчерпывается перечисленными четырьмя довольно специфическими формами.
Решение с помощью преобразования Фурье. Рассмотрим уравнение Фредгольма первого рода с ядром типа k(x—t):
OO
f (х) = j k(x—t)y(t) di, (16.39)
-OO
41*644
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где ф (t) — неизвестная функция. Предположив существование необходимых интегралов, применим теорему свертки (см. разд. 15.5)
OO
f(x)= [ к (о Ф (0 е-ы dt. (16.40)
— 00
Функции К (t) и Ф (t)— фурье-изображения функций k(x) и ф(*) соответственно. Применив обратное преобразование к уравнению (16.40), с помощью формулы (16.35) получим
OO
JC(ОФ(0=?;- J /(Jt)ewrf*=^, (16.41)
-OO
тогда
<16-42>
и, применив еще раз обратное преобразование,
OO
=^ J Ku^lxldt- (16?43>
-00
Корректный вывод этого выражения с помощью интегрирования в комплексной плоскости проведен в книге Морса и Фешбаха. Решение в форме (16.43) в дальнейшем будет использовано в упр. 1 к разд. 16.2.
Обобщенное уравнение Абеля. Теорема свертки. В разд. 15.10 для решения интегрального уравнения, которое возникло в задаче о таутохроне, мы пользовались преобразованием Лапласа. Запишем это уравнение в несколько более общем виде
X
fW = JlAA' °<a<1 (16-44>
о ^x )
«
и применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа
X
X{f(x)} = xH - J^r dt} = X {Jt-«} X {ф (*)}. (16.45)16.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ФУНКЦИИ 645
Здесь на последнем этапе мы воспользовались теоремой свертки (см. разд. 15.10). Из соотношения (16.45) следует
?{ф(*)Ь '1^fy* • (16-46)
Поделим обе части этого равенства на s:
— * (Ф М> = (—а)! ^ (а-1)1 (-а)! ' ^16'47)
Объединим факториалы с помощью соотношения (10.32) и вновь применим теорему свертки, в результате чего получим уравнение
T^WHnr^iju=?=?}' (16'48)
которое можно обратить с помощью формулы (15.179)
{фМЛ^Г-^Ы, (16.49)
о о ^ '
и, наконец, продифференцировав, получим
ас
sinna d С f(t) ,. па -т
VW=-Si\^zih (16-50)
Решение уравнения Абеля (см. гл. 15) есть частный случай (a = 1/2) этого более общего решения.
Производящие функции. Иногда встречаются интегральные уравнения, в которых под знаком интеграла содержится производящая функция. Пусть задано уравнение специального вида
Обратим внимание на два важных обстоятельства: 1) под знак интеграла входит производящая функция для полиномов Лежандра (1 —2xt + *2)~1/2; 2) область интегрирования [—1, II совпадает с областью ортогональности полиномов Лежандра.
Если теперь разложим знаменатель в ряд (свойство 1) и предположим далее, что неизвестная функция ф (/) может
42-1257646
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
быть также представлена рядом по полиномам Лежандра
1 CJO OO
f (X)=] 2 й*Р» (О S pT (0 Xrdt' (16'52)
-I п=О г= О
то, учитывая ортогональность полиномов Pn (свойство 2), можно записать, что
OO
/M=S 2?*'- (16-53)
г«= О
Коэффициенты ап определятся, если продифференцировать функцию / (*) п раз, а затем положить х — 0:
P (O) = яізщч»- (16-54)
Окончательно
OO
,^3SsjH Mр,(0. (1Ш)
Ti=O
Аналогичные результаты получаются и для других производящих функций.
Упражнения t
I. Ядро уравнения Фредгольма второго рода (16.2) имеет форм k(x — t)*. Предполагая, что требуемые преобразования существуют
OO
1 f F (t) erixt показать, чтоср(х) — —= \ --, где F [t) и/((/) —
у2л J \~У2пМ<{1)
— 00
фурье-преобразования функций f (х) и k (х) соответственно.
2. Ядро уравнения Вольтерра первого рода (16.3) имеет форму k(x~-i). Предполагая, что требуемые преобразования существуют, показать, что
¦y+ioo
?(х)=йї і
1 f fjs)
K(S)
-у—loo
exs ds,
где F{s) и /С (s) —изображения (Лапласа) оригиналов f {х) и?(х), соответственно.
3. Ядро уравнения Вольтерра второго рода (16.4) имеет форму k(x — t). Предполагая, что требуемые преобразования существуют,
* Это ядро и интервал О х < оо характерны для интегральных уравнений Винера — Хопфа. Подробнее см. в книге Морса и Фешбаха.16.3. РЯД НЕЙМАНА, ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА
647
показать, что
V+ioo
*W=55 J Г™ ^
у — іоо
-XK (s)
4. Используя решение, найденное с помощью преобразования Лапласа (см. упр. 3), решить уравнения
ас
Ф (х)=х + j (t—х) ср (t) dt, где ф (x)=sm X, о
X
tp(x) — х- j (f —х) ф (t) dt, где ф (х) — sh X. и
Проверить полученные результаты подстановкой в исходные интегральные уравнения.
5. Уравнение Фредгольма первого рода (16.1) имеет ядро
OO
1 Vl /(Т1) (O)
Показать, что оно имеет решение ф(х)=—— У Hn (х),
у л; * п!
. п=0
где Hn (х) — полиномы Эрмита п-го порядка.
JC
6. Решить уравнение Абеля / (х)— f —0<а<1:
^ ix 'О
1) умножая обе части уравнения на (г—x)a-i и интегрируя по х в области 0<.х<г; 2) изменяя порядок интегрирования и вычисляя интеграл по X в правой части уравнения с помощью бета-функции. Замечание.
і
dx =?(l—а, а) —(—а)! (а—І)!=- 71