Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы завершить обсуждение последующего дифференциального уравнения, докажем его эквивалентность интегральному уравнению, иными словами, докажем, что решение дифференциального уравнения (16.138) с соответствующими граничными условиями удовлетворяет интегральному уравнению (16.137). Для этого умножим уравнение (16.138) на соответствующую функцию Грина G (х, t) и проинтегрируем по X от а до b:
ь ъ
j G (х, t) Xy (x)dx+X j G (x, t) р (x) у (х) dx = 0. (16.139)
а а
Благодаря виду функции Грина первый интеграл распадается на два:
t ь
- j G1 (х, t)Xy(x)dx-]G2(x, t)Xy(х)dx =
и
X j G(x, t) р (х) у (х) dx. (16.140)>
666 ГЛАЙА їв. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ уравнения
Применим к левой части последнего уравнения теорему Грина, или, что эквивалентно, проинтегрируем по частям, тогда
t
-1Gi *) [4r (р wуW)+¦q му w]dx=
а
t
= -1G1 (X, t) р (X) у' (X) Ii+ j о; (*, О P W У' M dx-
а
t
- j g1 (x, t)q(x)y(x)dx; (16.141)
а
точно такое же выражение получается для второго интеграла. Повторное интегрирование по частям дает ***. t t
- j g1 (*, t)Xy(x)dx=-] у (х) XG1 (X, t) dx -
а а
-I G1 (xt *)P (X)у* (X) ?+ IG1 (xt t)р (X) у (X) \1 (16.142)
Интеграл справа равен нулю, так как XG1 = 0. Сгруппируем проинтегрированные члены с соответствующими членами, которые содержат G2, тогда
- р (t) IG1 (f, t) у' (t) G1 (tt t) у (t) - G2 (t, t) у'(t) +
+ G't(t, t)y(t)]+p(a)[Gl(a, t) у' (a)-Gt (a, t)y(a)\-
-p(b)[G2(b, t)y'(b)-G'2(b, t)y(b) 1. (16.143)
Оба последних выражения в квадратных скобках равны нулю, поскольку G (х, t) и у (а*) удовлетворяют одинаковым граничным условиям. С другой стороны, первое выражение с помощью уравнений (16.120) и (16.122) приводится к y(f). Подставив затем в уравнение (16.140), мы придем к уравнению (16.137), и, таким образом, эквивалентность интегрального уравнения дифференциальному с соответствующими граничными условиями доказана.
в
Пример 1. Линейный осциллятор. Рассмотрим уравнение линейного осциллятора
у"(х)+Ц(х) = 0 (16.144)
с граничными условиями ^(0) = ^(1) = 0 (пружина закреплена на обоих концах). Теперь, чтобы построить функцию Грина, необходимо решить16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
667
однородное уравнение Штурма—Лиувилля Xy (х) = 0, которое имеет вид у" (х) = 0: Мы удовлетворим граничным условиям, если потребуем,
Рис. 16.3. Функция Грина линейного осциллятора.
чтобы одно решение обращалось в нуль в точке х = 0, а второе в точке х-1. Такими радениями (ненормированными) являются функции
U(X) = X, v(x) = \—x, ' (16.145)
для которых
uvf—VUt — — 1. (16.146)
Из сравнения последнего соотношения с (16.126) следует, что р(х) = 1, Л = 1, а искомая функция Грина имеет вид (рис. 16.3)
(16Л47)
Следовательно, в силу (16.137) движение пружины с закрепленными концами описывается функцией
і
у (х) = К j G (дг, 0 у (0 dt. (16.148)
О
Читатель может убедиться самостоятельно, что решения уравнения (16.144) у=sin/mxCk = IiiJi2) удовлетворяют также и уравнению (16.148).
Чтобы характеризовать функцию Грина с новой стороны, рассмотрим уравнение Пуассона с точечным зарядом
v2<p (г) - - рточ/во. (16.149)
Решение этого уравнения с помощью функции Грина получено в разд. 8.6. Здесь для удобства ограничимся одномерным аналогом
щ w'+/,мточ = о, (16.150)668
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где / (х)точ описывает точечный заряд или импульсную силу и может быть представлена самым различным образом, наиболее удобно задать ее так (см. разд. 8.6):
f 1/2є, t— e<x<f-f є,
/Wron= 0 (16.151)
[ О в остальных точках. 4 '
Проинтегрируем уравнение (16.150) и учтем определение / Wto4i тогда
ї+е Ї+8
j Xy(x)dx=~ j f(x)T04dx=- 1. (16.152)
t—є t—є
Остановимся подробнее на операторе Xy (х). Имеем
/+є <+е
j IP(X) у'(X)] dx+ ) q (X) у (X) dx =
t-B t—B
¦ t+B
= \ P(X) y' (X) Ilt8e + \ q(x)y(x)dx=-\. (16.153)
t-B
В пределе при є -V О можно удовлетворить этому уравнению, если потребовать, чтобы у' (х) в точке х = t имела скачок величиной — Mp (х), а сама функция у (х) оставалась непрерывной *. Теперь мы замечаем, что именно эти свойства были использованы для определения функции Грина G (х, t). Кроме того, в пределе при є->-0
/(X)x04-6 (х-0, (16.154)
где б (х — t) — б-функция Дирака (см. разд. 8.6). Следовательно, уравнение (16.150) приобретает вид
XG (х, /) = -6(*-О (16.155)
(напомним, что в разд. 8.6 и 11.4 с помощью этого соотношения определялись функции Грина).
* Функции р (х) и q (дг), входящие в оператор непрерывны',
поэтому интеграл ]q{x)y{x)dxt взятый от непрерывных функ-
ций, также непрерывен. Следовательно, интегралы из выражения
(16.153), взятые на отрезке длиной 2е, обращаются в нуль при
8 -»- 0.16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
669
Полученный результат обобщается на n-мерное пространство
XG (г15 г2) — — б (rt — r2), (16.156)
где T1 и г2 —п-компонентные векторы. В /г-мерном пространстве оператор X становится оператором в частных производных. Для трех измерений