Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 16.5. Теорема сложения для полиномов Лежандра.
П. Исходя из.разложения функции Грина по собственным функциям, показать, что
OO
2 ^ sin пкх sin nut f * (1 —/), *</, aJ n2 \
Jl2
n=l
OO
Ay .
JT2 ZJ її= O
t (1-х), t<x; sin (" + у) ЯДГ5ІП я/
(«4Г
_ f X, X <t,
I t<X.
12. Имея в виду, что % (г) = е к'г/(2я)3/2—собственная функция уравнения (V2+ fc2) ^fc (J-) = O [выражения (16.183) и (16.184)], показать, что функцию Грина для оператора if = V2 в неограниченном пространстве можно представить интегралом
і 1 Г II
tk. (п— г«Л
dk ГЛАВА 17
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 17.1. ОДНА ЗАВИСИМАЯ И ОДНА НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ
Понятие вариации. Вариационное исчисление рассматривает задачи, в которых необходимо сделать минимальным (или максимальным) значение некоторого интеграла. В качестве простейшего примера возьмем интеграл
Здесь J — величина, которая принимает экстремальное значение. Под знаком интеграла стоит известная функция зависящая от переменных у, ух* и х, однако зависимость у от X не фиксирована, т. е. функция у (х) не известна. Это означает, что хотя интеграл и берется между точками Xi и х2> точный путь интегрирования мы не знаем (рис. 17.1). Выберем путь таким, чтобы интегрирование между точками (*і> Уі) и 1*2, У2) приводило к минимальной величине J.
Строго говоря, будем определять экстремальные значения J: минимум, максимум или седловые точки. В большинстве физических задач приходится разыскивать минимальное значение. Эта проблема гораздо труднее соответствующей проблемы дифференциального исчисления. Иногда решения может не оказаться вовсе. В дифференциальном исчислении минимум ищут, сравнивая у (х0) с у (*), где X — расстояние между двумя соседними точками. Здесь же будем предполагать существование оптимального пути (для которого J экстремально), а затем сравнивать J для этого (неизвестного) оптимального пути со значениями Jt полученными после интегрирования по соседним путям. На рис. 17.1 показаны два возможных варианта.
* Здесь и в дальнейшем всегда будем полагать, что ух = dy/dx, Ухх = CPyfdxi и т. д. .
(17.1) 17.1. ЗАВИСИМАЯ И НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ
679
(Очевидно, существует бесконечное множество таких возможностей.) Разница между ординатами этих двух кривых при фиксированном х называется вариацией у и обозначается символом Ьу\ для ее описания удобно ввести новую
Рис, 17.1. Вариация пути интегрирования.
функцию г) (*), которая определяет произвольную деформацию пути, а также масштабный множитель а, задающий величину вариации.
На произвольную функцию т| (х) накладывается только два ограничения. Во-первых,
т) (Xi) = л (X2) = О, (17.2)
откуда следует, что все возможные пути должны проходить через фиксированные концевые точки. Во-вторых, как вскоре это будет очевидно, т| (х) должна быть дифференцируема, т. е. нельзя пользоваться функцией
^ Г 1 » X = Xo, 17 3
I О, X=Z=X0;
правда, в качестве rj (х) можно выбрать любую из функций, с помощью которых в гл. 8 и 16 выражалась б-функция Дирака (т| (*) будет отлична от нуля в бесконечно малой 680
Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
области). Тогда с помощью а и т] (*) запишем путь
у (х, а) = у (xt 0) + at) (х), (17.4)
a
б у = у (х, а)—у (х% 0) = щ (х). ¦ (17.5)
Выберем в качестве неизвестного пути, который минимизирует J1 путь у (х, а = 0). Тогда у (х% а) будет описывать соседний путь, а интеграл J окажется теперь функцией нового параметра а:
Я»
J (a) = J f[y(x, а), ух(х, а), х] dx, (17.6)
Xi
и, следовательно, условие экстремальности по аналогии с таким же условием из дифференциального исчисления запишется как
[^L = O- С7-7)
Зависимость интеграла от параметра а определяется величинами у(х, а) и ух(х, а), поэтому
XZ
OJ (а) ^ да ~~
Xi
J с7-«)
Из уравнения (17.4) имеем
^U4W, (17.9)
да
дух (я, a) dr\ (x)
oa - a* • (І7Л°)
с учетом которых уравнение (17.8) сведется к следующему:
тМіічМ+І^К (17Л1)
xi
Интегрируя второй член по частям, получаем
Xz зс2
J^^w-tE-Jiw^- W
. X1
При этом нужно учитывать, что в силу условия (17.2) проинтегрированная часть равна нулю, и уравнение (17.11) 17.1. ЗАВИСИМАЯ И НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ 681
приобретает более компактную форму:
Xi
для которой параметр а можно положить равным нулю. Иногда уравнение (17.13) представляют так:
Xz
Xl
Поскольку функция т] (х) произвольна, ее можно выбрать с тем же знаком, какой имеет выражение в скобках, когда оно отлично от нуля. Тогда подынтегральная функция будет всегда, положительной. Благодаря этому условие (17.13), которое обеспечивает существование экстремума, может выполняться только в том случае, если выражение в скобках тождественно равно нулю. Таким образом, можно окончательно записать условие экстремума в виде дифференциального уравнения в частных производных:
iL ' «L= 0. (17.15)
ду dx дух х 1
Это условие называют уравнением Эйлера. " Формы уравнения Эйлера. Уравнение Эйлера часто записывают так:
