Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
10.1.40. — cos Vzsi — 2z/ У^ J«-i(z). z V л!
Производные озносителыю порядка
10.1.41. Г— A(Jt)I [n/(2*)I {Сі (2х) sin X -LSv Jv=O
— Si (2х) cos л-}.
10.1.42. [^ЛМЦ,-
= [п/(2х)] {Cl (2х) cos X + Si (2х) sin .г).
10.1.43. Г— yjx) 1 = L 3v Jv-O
- 1*/(2*)] {Сі (2х) cos X + [Si (2х) — it] tin *}.
10.1.44.
= Ы(2х)] {Сі (їх) sin X — [Si (be) — я] cos х}.
Теоремы сложения и вырожденные формы
(г, р, 6, X — произвольные комплексные; R - -Jr- + Ps — 2rp COS в)
10.1.45.
1.R
= ? (2л + 1) A(WAtbp) PJCOS в).
U
10.1.46. V42n+l)A(Xr)j.„(>,p)P„(cos0), ХЯ V
|ге±ів|<|р|.
10.1.47. с'"" в = JT^Pir+ l)e«*"!J„(z) P11(CosO).
о
10.1.48. JJz sin 0) ~ V1 (4в +1) (2")! Jm(Z) TWcos в).
V 22я(л!)
Формула удвоения
10.1.49. J„(2z) =
- nlz»+1 2n-2*+l J^(Z)J-H(Z).
к\(2п-к + Dl lO.l. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЕЕССЁЛЯ
259
Некоторые бесконечные ряды, содержащие jn(z)
10.1.5«. + ІШг) = 1.
о
sin 2z
1.1.51. 2 (-1)» (2n + 1)JKI> ¦
2z
?ж> =
Si (2z)
Интегралы Френеля
10.1.53. C J2x1 ті) -
= j \ J-uJt) A= -ft |coS (-1)» /„„„ Jjj + 0
+ sin | ^ (-1)"J-j)].
10.1.54. J(VwS) = і ^ J11JI) dt -
о
= V2 [sin - j (-1)" Jw Jjj -
- cosf P ("D"-WsJjj]-
(См. также 11.1.1, 11.1.2.)
Нули н ox асимптотические разложения
Функции jnix) и у л (х) имеют те же нули, что и функции Jn IrJx) и Yn+iiJx) соответственно. Поэтому для нулей функций jn(x) и yjx) справедливы формулы раздела 9.5, в которых нужно положить V = л + 1/2. Однако там нет простых соотношений для нулей производных. Поэтому здесь даются формулы для ап.л; b'n.s — s-x положительных нулей функций j'n(z) и y'n(z) соответственно; Z = O считается первым нулем функции j'v(z). (Таблицы значений b'n.„jn(A.,), Уп(І'п.г) СМ. В [10.31].)
Элементарные соотношения fniz) = Jn(Z) COS пі + yn(z) sin Jli
(і — действительный параметр, 0 < t < 1). Если Tw — нуль функции fn(z), то
10.1.55. U(In) = ЫЫ + l)]/„-i(T„) (см. 10.1.21).
10.1.56. /пЫ = (см. 10.1.22).
10.1.57.
57. /„(%) = j I W - п(п + 1)] у'"
Разложения Макмагона для фиксированного и и большого V
10.1.58. а'п.„ К., ~ ? - (ц + 7) (8РГ1 -
- - (7+ 154ц + 95) (8?)"» - — (85ц" + 3535ц» + 3 15
+ 3561ц + 6133) (8?r5 - (6949ц* + 474908ц3 +
+ 330638ц® + 9046780ц - 5075147) (8?)"7 - ...,
ЦЄ0=7Е fj-f—Л--ДЛЯ Сl'n,s, 3 = п (s 4- — nl
I 2 2) ( 2 )
для b'„.,, ц — (2n + I)*.
Асимптотические разложепия нулей н связанных с ними величин при больших значениях порядка л
10.1.59. <4,1 ~ Jn + jj + 0.8086165 Jn + -i-j1''' -- 0.236680 Jn + -і j"' - 0.20736 Jn + -і J +
f 1 1-е/з
+ 0.0233 л + jl + ... І + 1.8210980 (
10.1.60. Hi ~ Jn + -jj + 1.8210980 Jn + j j*" +
+ 0.802728 Jn + j j~"3 - 0.11740 Jn + j j"' +
( 1 )-6/3
+ 0.0249 In + -j I , + ...
10.1.61. M<i> ~
~ 0.8458430 Jn + -jj 1 - 0.566032 Jn + -j j-*" + + 0.38081 Jn + і j - 0.2203 Jn + і j * + ... J.
10.1.62. yn(4i,i) ~
( 1 A-®/0 ( { 1 "1-а/з
—0.7183921 In + -j I Jl- 1.274769 I" + "J I +
+ 1.23038 Jn + jJ"S- 1.0070 Jn+ -jj~* + ...J.
Соответствующие разложения для s = 2 и S = 3 см. в [10.31].
Равномерные асимптотические разложения нулей и Связанных С НИМИ величин при Oo-TbUIIIX значеннях порядка п
10.1.63. пі., ~ Jn + Ij jz [J„ + Ip „;] +
+ёчкг"]кп- 260
10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
10.1.64. «-~(» + {){*{(»+iP«] +
+s4KPf ¦4П-
10.1.65. JJf(J) ~ УI Ai(Oi) (» + у) х
»{"S-Ihir-H-r}-
10.1.66. уДЫЛ--Щ Bi К) ^ -I--^j X
h(%), определены, как и в 9.5.26, 9.3.38, 9.3.39.
at> bg — 5-е отрицательные действительные нули фуикций Ai'(z) и Bi'(г) соответственно (см. 10.4.95, 10.4.99).
Комплексные нули ZjI11(Z), Ii^ (г)
Функции Йч(г) и W(Ze2nni) (т - любое целое число) имеют ОД1Ш и те же нули.
Iihv(Z) п имеет нулей, симметричных относительно мнимой оси и располагающихся примерно по конечной дуге, соединяющей точки г — —и и z — п и изображенной на рис. 9.6. Если л — нечетное, то один нуль лежит на мнимой оси.
hlP (z) имеет (п -г 1) нулей, лежащих вблизи той же кривой. Если п — чепше, один нуль лежш на мшімой
-с (-04, (О (-0? (С) (-04,(0 (-0" я,(0 (-о'адо (-O1 Я,К)
0.0 — 0.4409724 -0.122500 -0.06806 0.000000 0.00000 0.0000
0.2 -0.4572444 -0.114201 -0.05986 0.027518 0.00575 0.0023
0.4 -0.4702250 -0.107243 -0.05279 0.049069 0.01118 0.0043
0.6 -0.4802І84 -0.101318 -0.04674 11.065677 0.01592 0.0061
0.S -0.4875705 -0.096159 -0.04160 0.078255 0.01983 0.0075
1.0 -0.4926355 -0.091561 -0.03725 0.087587 0.02290 0.0085
-С AitO адэ 4,(0 и,(О
1.0 -0.4926355 -0.09156 -0.037 0.087587 0.0229
1.2 -0.4131280 -0.05056 -0.014 0.065507 0.0121
1.4 -0.3551700 -0.03043 -0.006 0.050524 0.0070
1.6 -0.3108548 -0.01950 -0.003 0.039890 0.0042
1.8 -0.2757704 -0.01310 -0.001 0.032085 0.0027
2.0 -0.2472521 -0.00914 0.026206 0.0018
2.2 -0.2235898 -0.00658 0.021682 0.0012
2.4 -0.2036314 -0.00485 0.01S141 0.0008
2.6 -0.1865701 -0.00366 0.015326 0.0006
2.8 -0.1718217 -0.00280 0.013061 0.0004
3.0 — 0.1589519 -0.00219 0.011217 0.0003
