Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Lev J V= ±1/2
Функции E1(X) и Ei(.v) см. в 5.1.1, 5.1.2.
Теоремы сложения и вырожденные формы
(г, р, 0, л — произвольные комплексные; Я = -Jr' -i- P3 — Irr- COS 0 )
10.2.35. f— ~ -2- YS2" + /«+!,!(W X
Хй ЇЇ ^
X [V«/(ар) W/zP-p)] Z5n(cos Є).
10.2.36. егсга0=2(2л + ]) [V ^7(? /п+1/а(г)] Pn(cos 0).
0
10.2.37. -
= S (-1)° (2л + 1) [V"/(2z) /,,+Irt(Z)I /"»(cos 0).
Формула удиоепия
10.2.38. S"»HVj(2z) =
, „,^»,^/.fvfcUH^itL1' AJWz).
V *l(2»-t+ 1)1
10.3. ФУНКЦИИ РИККАТИ—БЕССЕЛЯ Дифференциальное уравнение 10.3.1. zV + [z2 - и(о + 1)1 VV = 0
(я «0, ±1, ±2,...).
Пары линейно независимых решений этого уравнения имеют вид:
Zjn(Z)f zy„(z);
zh^\z\ zhgXz).
Все свойства этих функций следуют непосредственно из свойств сферических функций Бесселя.
Функции Zjil(Z)1 Zyn(Z)i п = 0, 1, 2
10.3.2. zj(,(z) — sin z, zji(z) = г-1 sin z — cos z,
Zji(Z) = (3z~2 — 1) sin Z — 32"1 COS z.
10.3.3. ZJ0(г) — —cos zt Zy1(Z) = — sin z — z-1 cos z,
zys(z) — —3 z-1 sin Z — (3z~* — 1) COS Z1 Вронскианы
10.3.4. W{zjn(z\ zyn(z)} = 1.
10.3.5. fV{zh^\z), zhtfKz)} = ~2i
(и = 0, 1, 2, ...). 264
10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
10.4. ФУНКЦИИ ЭЙРИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
,?рфференцвалыюе уравнение
10.4.1. w" - ZW = 0.
Пары линейно независимых решений этого уравнения таковы:
Ai(z), Ві(г); Ai(z), Ai(zc»"8); Ai(z), Ai(ze-""a).
Разложения в степенной ряд
10.4.2. Ai (Z) «.Cj/(Z) -CjS(Z).
10.4.3. Bi (z) - V3 [c,/(z) + Cag(Z)I,
(3?!
S(Z) = Z+iz< + Aliz< +z»+...=
V U h Ok + I)!
ю-
3* + J J = 0« + ') 0х + 4> - 0« + з* - 2)
(а — произвольное; к = 1, 2, 3, ...) (см. 6.1.22).
10.4.4. с, = Ai(O) - Bi(O)/4% = 3-*'"/Г(2/3) =
= 0.35502 80538 87817.
10.4.5. C2 = -Ai-(O) = Вї(0)/л'з - З-^/ГО/З) =
= 0.25881 94037 92807.
Соотношения между решениями
10.4.6. Bi(z) = с"'" AHzea"3) + C-"1'" AHzrlj"").
10.4.7. Ai(z) + еші" Ai(ze»*"3) + <r™<<3 Ai(zc-»"'»)-0.
10.4.8. Bi(z) + г™"" Bi(Zewa) + е~ш,Іг Вi(ze~""") — 0.
10.4.9. AHzei
1
=t^jIAi(Z) =F іBi(z)].
Вронскианы
10.4.10. W {Ai (z), Bi (г)} - ті-1.
10.4.11. W{Ai (z), AKzc1"1")} =
1.0 О. S О. S OA о.г о -0.2 -OA -0.0 -о.е -и
¦ МЫ) Г\
Л
W
Zkl
I _
jAi't-z)
A, Ц/ j ЧУ / V j
^ У У
Рис. 10.6. Ai(±x), Ai'(±*).
го
1.S
и
OM OA О -OA -О.в
Ijffi а)
W ,
' • _ BiHD)
^ ' ' 1 І'
\ \ /М П\\/М
'і I' Ч ' V ч І. і I / I \
W
ви-з) 1
\ WI \ У і \ *
Рис. 10.7. Bi(±x), Bi'(±x).
10.4.12. >T{Ai(z), Ai(z?-»"»)}= j n-W".
10.4.13. W{Ai(ze2lt"*), Ai (ze-2""")} - і га-1.
Выражения через функции Бесселя 2
(5-f"j
10.4.14. Ai(z) = і 4г U-1,.(0 - hMQl =
- Tt-1 4F/з JT1,,(0.
10.4.15. Ai (-z) = і- JilJllM + /-WQJ =
З 10.4. ФУНКЦИИ ЭЙРИ
265
10.4.16. - Аі'(г) - j - hi JOl -
= *-Чг/V» *,„«).
10.4.17. Аі'(-г) = - J - -WOl -
- I W Ji) [«"""»ЯШ + 2
10.4.18. Bi (г) = JIJi [/.-!,,(S) + /„,(О].
10.4.19. Bi (-г) = ліф IJ^11M - J1AQ] =
- і -
10.4.20. ВІ'(г) = (z/V3) [/.„(0 + /„,«)].
10.4.21. Bi' (-z) = (z/V3) [/-,„(С) + ЛМ01 =
= I i(z!ji)[e-"«mffJO- е""'«Н8Ч01.
Выражения функций Бесселя через функции Эйрн
(3 „12/3
-(H
10.4.22. Хн;а(0 V3/j[i/3Ai(-r).TBi(-j)l.
10.4.23. JffSra(C) = г**" Va?i[Ai(-z) - IBi(-z)].
10.4.24. Яй„(О = V35[Ai(-z) + і Bi(-z)].
10.4.25. /±,„(0 - і JWz [=F Ji Ai(z) + Bi(z)].
10.4.26. АГ±,л(0 = n JWz Ai(z).
10.4.27. JislJО = ^[±i/3 Ai'(-z) + Bi'(-z)].
10.4.28. ЯЙЙО - ¦гг""»Яйа>м(0 -
- е*<"> (JlIz) [Ai'(-z) - 1 Bi'(-z)].
10.4.29. HffJQ = ?!®'3ЯІ'ія(0 =
= е-«" (Jljz) [Ai'(—z) + iBi'(-z)].
10.4.30. IaiJO = [± V3 Ai'(z) + Bi'(z)].
10.4.31. Ar±,/rfO = — Tz(Jijz) Ai'(z).
Интегральные представления
10.4.32. (ЗаГ1"* Ai ІІРиГ1" *] - J cos (at* ± xt) dt.
0
10.4.33. (30)-1'? BiIiO(I)-ulX] =
- t [exp(-al' ± xt) 4- sin (af ± X.')] dt.
Интегралы J Ai(±t) dt, ^ВІ(±І)Л о U
¦ Ї
10.4.34. ^ Ai(I) dt = j J[/-in(») - /!,«(I)] dt.
0 O
1 с
10.4.35. ^АІ(-І)Л- -j ^IJ-tiJt) + JllJtyidt. о о
• K
10.4.36. ^ Bi(I) dt = -j= ^/-j,,(l) + /i,s(l)] dt. о о
* s
10.4.37. ^ Bi(-I) dt = ^ [/->«(() - Ji,M] dt. о 0
X *
Разложение интегралов
$АІ(±1)Л, J Bi(±t)A о о
в степениой ряд
10.4.38. J Ai(I) dt = C1F(Z) - c,G(z)
4
(см. 10.4.2).
10.4.39. ^Ait-I)dt = —c1F(—z) + c2G(-z). о
10.4.40. J Bi(I) dt = Jilc1F(Z) + caG(z)] о
(см. 10.4.3).
10.4.41. ^ВІ(-І)Л = - Jh Ic1-FX-Z) + CjG(-z)]. u
В формулах 10.4.38 — 10,4.41
F(z)-z + J.2<+i-Liz'+ L±lz>°+...-4! 7! 10!
(3? + 1)!
C(z) - J- z» + 1 z» + z« + ^ + ..
V 2! 5t 8! III
¦ІМ-] -
V Ы,(
t (3 к + 2)1
Константы C1, C3 определены формулами 10.4.4 в 10.4.5. 266
10. ФУНКЦИИ БЕСС&ЛЯ ДТОЬНОГО ПОРЯДКА
Функции Gi(.-), Hi(z)
12. Gi(z) = ті"1 ^ sin|i I1 + ztj dt = о
= J Bi(z) + J [Ai(Z) Bi (() - AiCO Bi(Z)] dt.
10.4.43. Gi'(z) =
¦ - Bi'(z) +
J [Ai'(z) BiM -
Ai(I) Bi'(z)] dt.
