Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
10.4.44. Hi(z) -. z ' ^ esp - j Iа + zlj с
. j Bi(z) + ^ [Ai(I) Bi(z) - Ai(z) Bi(I)] dt.
10.4.45. Hi'(z)= -Bi'(z) + C [Ai(l)Bi'(z)-3 :
- Ai'(z) Bi(I)] dl.
10.4.4«. Gi(z) + Hi(z) = Bi(r).
Выражения интегралов ^ Ai (il) dt, \ Bi (±1) dt через Gi(±z), Hi(±z)
10.4.47. J Ai(I) dl -j + я [Ai'(z) Gi(z) - Ai(z) Gi'(z)]. о
10.4.48. ^ Ai(I) dt - - j —n[Ai'(z)Hi(z)- Ai(z)Hi'(z)].
о
10.4.49. ^АІ(-|)Л-
- j - ii[Ai' (-z) Gi(-z) — Ai(-z) Gi'(-z)].
10.4.50. I Л і ґ—.') dt ,
- + n[Ai'(-z) Hi(-z) - Ai (—z) Hi'(-z)].
il. (j Bi (|)Л = Ti[Bi'(z)Gi (z) - Bi (z)Gi' (z)l.
10.4.52. J Bi (I)dt - - 7i[Bi'(z) Hi(z) —Bi(Z) Hi'(z)].
о
10.4.53. ^ Bi (-1) dl =
о
= - it[Bi'(-z)Gi(-z) - Bi(—z)Gi'(—z)].
10.4.54. (j Bi (—1) dt =
о
= JtIBiX-z) Hi(-z) — Bi (-z) Hi' (-z)]. Дифференциальные уравнения для Gi(z), Hi(z)
10.4.55. и>" - zw = -г.'1,
w (0) - 1 Bi(O)= і Ді (0) _ 0.20497 55424 78, 3 УЗ
L
З "" 7з"
и--(г) - Gi(z).
10.4.56. W — zw = Tt11
W (0) -, — Bi(O) - 4= Ai(O)- 0.40995 10849 56,
З Va
w-(O) = - Bi'(O) = - -?=АІ'(0) = 0.29885 89048 98,
З л/3
W(Z) = Hi(z).
Дифференциальные уравнения для произведений функции Эири
10.4.57. w"' - 4zw' - 2и> = 0.
Его линейно независимыми решениями являются функции Ai2(Z), Ai(z), Bi(z), Bia(z).
Вронскиан произведений функций Эйри
10.4.58. (F{Ai!(z), Ai(z) Bi(z), Biz(z)} = 2jij.
Асимптотические разложения при больших значениях 1 z |
CD = 1,
T(3/t + 1/2) (2к + 1) (2к + 3) ... (6к - 1)
5Л*к\Т(к + 1/2)
216?!
d,= 1, d„ = - ^tici (к = 1, 2, 3, ...). 6к — 1
^ = ± ja« 3
10.4.59. Ai(Z) ^«r-^'c-t^t-D'c^-'
(I argzl < it).10.4. функции ЭЙРИ
267
10.4.60. Ai(-z)~
j^sin Jc I ^J 2 (- -
-cosje+^j^ (-1)?*^'"1-1 j Jlargzl < I tiJ.
10.4.61. Ai'(z)---і 4tf'
(I arg zI < it)
10.4.62. Ai'(-z)-
H-DMmC-"+
+ sin Ji; + J p (- DV««?-*-1] JI arg ZI < I я j • 10.4.63. Bi (z) ~
: Jflarg zlcj tj.
10.4.64. Bi(-z)-
-»'1 ^ cos Jc + ~ j ]T; (- 1 VcnZj"= +
^+^?(-4?^-"-1]
Jl arg zl < -j- :tj .
10.4.65. Ві(ге±д''3)-
~ Vz/ite^'V"«^in Jc+ і -І In 2j X
(-DWral-
0
- cos Je + J T і In 2 j ^ ( -1)?, „е-«-1 J
Jl arg z| < j ті j .
10.4.66. Bi'(z) — 71-1'?1"^ jr; del-* JlargzK-I ,tj.
10.4.67. Bi'(-z)~
~ Tt-Vi1I- Jdn J,; + ^(-1)?^-" -
- cos Je + ~ ] ? (- IYdwK-"'1 j
J|argz|< j itj.
10.4.68. BiXzei ™'3)~V2/TKT™'ez"> X
X ^cosJ e + J T 1 In 2 J JTJ (- 1)»<і!ге-аї +
+ sin Je + =F | In 2j ? (-1)" A^e-"-'!
Jl arg z| < j TtJ .
Модуль и фаза
10.4.69. Аі(-х) - M(x) cos 0(x), Bi(-x) - AfW sin Є(.г),
M(x) = •J'M'(-x) + BiVx), 0(x) = arctg [Bi(—x)/Ai(—x)].
10.4.70. Ai'(-x) - N(x) cos Ф(х), Bi'(-x) = JV(x) sin Ф(х),
N(x) - VAi'4-x) + Bi-(-x>; Ф(х) = arctg [Bi'(—x)/Ai'(—x)].
Дифференцнальиые уравнения для модуля и фазы (Штрихи означают дифференцирование по х.)
10.4.71. M16' = -Jt-1, N'Ф' = -Tt-1X.
10.4.72. N1 = М" + M2W = М" + Tt-aMj.
10.4.73. NN' = -хММ'.
10.4.74. tg(0> - 0) - Лгв'/М' = -(TtMJtf')-1, MN sin (Ф - в) - л-1.
10.4.75. M- + хМ - TtjMj = 0.
10.4.76. (М8)'" + 4х(М")' - 2Ms - 0.
10.4.77. 6" + - (0--/9") - - (в"/в'>» = х.
2 4
Асимптотические разложения модуля и фазы при больших значениях х
10.4.78. Ms(X) ~ - х-1" V4 izi>l 2"fl] (2х)-".
ж V '«І 12 J11
10.4.79. 0(x) ~ — it -
4
_ !,,„Г,. 5
3 L 4 96
128 14336 J268
10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
10.4.80. JVsW л
(-1)'+' <S* + l„,t(l
^ 12?! 64:-1
2IiL
(Ixyt.
10.4.81.
4
_ 2 j«jl + 1 _ ІІ5- (2ху> +
+ 1g5g71 _ 2065 30429 J
?40 2048 J
Асимптотические представления интегралов ж л
$Ai(±0A, $Bi(±i )dl
о о
при больших значениях X
10.4.82. J AiCO А ~ j - 4 "-1"*-'" ехР( - - x"*j ¦
10.4.83. I Ai(-() Л-
- n-u'x-v* COS ¦
»(¦J х"" + J j'
10.4.84. ^ Вір) dl ~ и-1".!-3'« exp|- x3"j .
10.4.85. ^ BiC-г) it ~ -K-1?-3" sin ^J x"> + І J ¦
Асимптотические представления функций
Gi (±х), Qi'Crt*), Hi(±x), Hi'(±x) при больших значениях х 10.4.86. GiCx) ~ Tt-1Xj.
10.4.87. GiC-х) ~ Tt-1'1^-1'! cos
10.4.88. Gi'(x)~ — тт-br2.
96
10.4.89. Gi'(-x) ~ л-1'V4 sin х"! + .
10.4.90. Hi(x) ~ я-1«лт1" exp .
10.4.91. Hi(-x) ~ Tt-1X-1.
10.4.92. Hi'Ot) ~ и-J'W" схр !у .
10.4.93. Hi'C-x)--- л-1^.
2
Нули и их асимптотические разложения
АІҐ І, Лі'(і') имеют нули только на отрицательной части действительной оси. Bi(z), Ri'fr) имеют нули на отрицательной части действительной оси и в секторе ~/3 < I arg г I < тг/2.
Q«, a,, hs, b'B — ,v-c отрицательные нули функций Ai(z), Ai'(z). RL(z), Bi'(z) соответственно.
?„ ?i, ?s, ri — s-є комплексные нули функций Bi(z), Bi'(z) в секторах тс/3 < argz< -/2, — тт/2< arg z< — Tt/3 соответственно.
10.4.94. я, = -/[3>t(4i - 1)/8].
10.4.95. a; = -г[3тс(4і - 3)/8)].
10.4.96. Ai'Ca,) - C- !/-!/,[3^(45 - 1)/8].
10.4.97. Ai(»i) = C-D--1S1IS^ - 3)/8].
10.4.98. 6, -/[3Tt(4i - 3)/8].
10.4.99. bi = -gI3it(4j - 1)/8].