Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 158

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 480 >> Следующая


Таблица 10.12. Интегралы от функций Эйра (0 < х ^ 10) Д.,.......... 294

X X

^ Ai(t)dt, л= 0(0.1)7.5; ?аї(-г)Л, * = 0(0.1)10, 7D;

о о

j ВІ(/Ї dt, X - 0(0.1)2; j Bif-O dt, x = 0(0.1)30, 7D.

0 0

Таблица 10.13. Нули и снязаттные с ними значения функций Эйри и их производных (1 < .9 ^ 10) ............................................ 294

Нули as> Ьц, К функций Ai(.v), Ai'(jf), Ві(я), Ві'(л-) и значения Аі^аДАїЧйа), Ві'(6Д ?i(^), .v=](l)I0, 8D.

Комплексные нули и связанные с ними значения Bi(z) в Bi'(z) (1 < s ^ 5)

Модуль и фа^а (J дикций e~n,J3fis, Bi'(?«), Bi(&), j - 1(1)5, 3D. Литература .................................................................. 295

10.1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ї.ЕССЕЛЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ Дифференциальное уравнение

10.1.1. Z1V + Izw' 4- Iz3 - п(п + 1)] w = 0

(и =Of ±1, ±2,...). Частными решениями этого уравнения являются сфери-ческие функции Бесселя первого рода

Jn(z) - Jrti(Iz) /я+1/зО),

второго рода

yn(z) = Jn(i2z) Yn+lJ2(z)

и третьего рода

hgXz) ±=Mz) + />„(2) - 4ЩП) ВДшОО.

hi?\z) =Jn(Z) ~ iyn(z) = V^/(2i)

Пары функций Jn(z), yn(z) и h(nl)(z), h\?\z) являются линейно независимыми решениями уравнения 10.1.1 для любого п. Об общих свойствах решений см. в 9.11.

Разложения в степенной ряд (см. 9.1.2, 9.1.10)

10.1.2 .jn(z) =-

'{'-г

1 ¦ 3 • S ... (2и + 1)

z'/2 , (z'!2f

1!(2л + 3) 2<(2п + 3).(2n + 5)

ImftM- '-3'5 -PiL^JLx

ZM+1

z2/2

-Y

1 1 !О -

: + ;

iz'?f

In) 21(1-2») (З

- 2л) '"}

(л - 0, 1, 2, ...).

10.1.4. z-%(z)

Пределы прн ¦¦> I 1

1 -3-5...(20 + 1)

10.1.5. z"«j>„(z) -.-1-3-5... (2п-1) (п - 0, 1, 2,...).

Вронскианы

10.1.6. WlUz),

10.1.7. W(z)} = -2Й-" (л - 0, 1, 2, ...).

Выражения через элементарные функции

10.1.8. Mz) = г~» [?(л + 1/2, 2) sin (z - лтт/2) +

+ ??(л + 1/2, г) cos (г - ля/2).

10.1.9. (-^"+'2-4^+1/2,2)005(1+114/2)-

- 6(л + 1/2, г) Sto (г + mt/2)],

^л + 1/2, г) =

= 1 -

Ji±J)L W+ OLtMw

2!Г(л — 1) 4!Г(л-3)

[я/2]

= ?(-i)'<» + 1/2, аде»)-«,

2(,1 + 1/2,2) = ("1; (22Г -1 Il (л)

З ІГ(л — 2) 5 !Г(л — 4) '

Ult--I )/2]

= ? (-D1 (л+ 1/2, 2І+ 1)(22)-'

(л - 0, 1, 2,...). 10.1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

(п + 1/2, *)-

Ol + к)\ к\Т(п - і + 1)

1 2 3 4 5
1 2
г 6 12
3 12 60 120
4 20 ISO 840 1680
5 30 420 3360 15120 30240

10.1.10. л(г) = /»(г) Sin г + (-l)"+1/-»-i(z) cos z, Mz) = z~\ MD - z-',

/-1« +Л+і(г) = (2я + 1)г*/.й

(и = 0, ±1, ±2.....).

Функции Jn (z), уп (г) для и = 0, 1, 2 siiiz

10.1.11. л(г) =-.

z

. . ч sin Z COS Z

ЛМ = —;----

Z2 Г

., л (• 3 1 ) . 3

Js(Z) =I---I sm Z — — cos z.

U" z I z'

10.1.12. Л(г) - - M(z) - - .

z

, ^ , , , COS Г sin Z

n(z) "Jj(Z) =------.

Zs Z

Mz) = - J-t(z) = + z.

Интеграл Пуассона н обобщение Гегенбауера (п - 0, 1, 2,...)

П

10.1.13. U(Z)--С cos (z cos Є) sin2"+10 dO

2я+1лЗ J о

(см. 9.1.20).

10.1.14. jn(z) = ( J е" <™>Р, (cos в) sin Є ,І8.

Сферические функции Бессела второго и третьего рода

10.1.15. y„(z) = (-l)"+V-»-i(z) (n-0, ±1, ±2, ...).

10.1.16. /Ii11(Z) = ,--Iz-V ? (я + I/2. *) (-2/z)-1.

о

10.1.17. W>(z) = i'^z-'e-" 2(" + 1/2, Wizrt-

о .

10.1.18. JiiU1W = 1(-1)"?"?, e,(z)--i(-l)*»(2) (и-0, 1, 2,...).

OJ O-S OA 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

\п-0
,.к 4-і
' I L-^x ¦1/Ш
VAWYfr X \ А.
2 \ 4 \ б! \'l А,
\ А/V у \ Г"'

Рис. 10.1. /„(і); п » 0(1)3.

Рис. 10.3. Mx), Mx)', X = 10.

17 — под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Кармазиной 258

10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА Рекуррентные соотношения

/,(г) -JJz), У Jz), ISKz), WKz) (л = О, ±1, ±2, ...)

10.1.19. A-I (г) + А-нй - (2/1 + 1) z-1A(Z).

10.1.20. лА-іО) - (и + 1) Am(Z) = (2л + 1) 4- A(Z).

dz

10.1.21. + — A(z)-A-,(z)

Z UZ

(см. 10.1.23).

10.1.22. іA(z)- — A(z) = A«(z)

Z OZ

(см. 10.1.24).

Производные

AW : A(Z). J«(z), WW, «"00 (и = 0, ±1, ±2, ...)

. [- —Г [z"+,A(z)l - г—^А-»«-\ Z dz J

(т = 1, 2, З,...).

Формулы Релея 1 d In sin z

10.1.25. A(z) - г" ( - J

10.1.26. уJz) - - z» ^ _ і

0і-0,1,2,...).

Модуль н фаза A(Z) - A Mws(Z) CCS 0n+i;a(z), Jn(z) = V"/(2z)M„+1,a(z)sin6„(iii.(z) (см. 9.2.17).

10.1.27. M(2z)] MiUM =

_ і Vs Ф-—(2" ~ ад!

(2z)2

(см. 9.2.28).

10.1.28. [л/(2г)] Mfyi(Z) = Jj(z) + jJM = z~'.

10.1.29. I^/(2z)] Mlz(Z) =j\(z) + jf(z) = z_a + z"4.

10.1.30. [n/(2z)J M?;2(z) =Л(г) + jl(z) = г-'+Зг-'+Яг-'.

Произведения функций

10.1.31. AW J«-iW - A-ifz) y„(z) = z"a.

10.1.32. A+i(z) J»-i(z) —J«-i(z) j„«(z) = (2л + l)z~a.

10.1.33. A(z)A(z) + Jo(Z) J„(z) =

(n = 0, 1, 2,...).

Аналитическое продолжение

10.1.34. JJzenn') = em'jjz).

10.1.35. J»(ze""") = (-1)- e"-'<yjz).

10.1.36. /ii11(zel!m+1>"<) - (-l)»W(z).

10.1.37. /,!,"(=Cfs"1+11"') = (- IW(Z)-

10.1.38. = Zii0(Z)

(1 = 1, 2; га, л = 0, 1, 2, ...). Производящие функции

10.1.39. - sin Vzs + 2zt - V- -t^-J-i(z) z V nl

(21/] < I z I).
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 480 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed