Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 10.12. Интегралы от функций Эйра (0 < х ^ 10) Д.,.......... 294
X X
^ Ai(t)dt, л= 0(0.1)7.5; ?аї(-г)Л, * = 0(0.1)10, 7D;
о о
j ВІ(/Ї dt, X - 0(0.1)2; j Bif-O dt, x = 0(0.1)30, 7D.
0 0
Таблица 10.13. Нули и снязаттные с ними значения функций Эйри и их производных (1 < .9 ^ 10) ............................................ 294
Нули as> Ьц, К функций Ai(.v), Ai'(jf), Ві(я), Ві'(л-) и значения Аі^аДАїЧйа), Ві'(6Д ?i(^), .v=](l)I0, 8D.
Комплексные нули и связанные с ними значения Bi(z) в Bi'(z) (1 < s ^ 5)
Модуль и фа^а (J дикций e~n,J3fis, Bi'(?«), Bi(&), j - 1(1)5, 3D. Литература .................................................................. 295
10.1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ї.ЕССЕЛЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ Дифференциальное уравнение
10.1.1. Z1V + Izw' 4- Iz3 - п(п + 1)] w = 0
(и =Of ±1, ±2,...). Частными решениями этого уравнения являются сфери-ческие функции Бесселя первого рода
Jn(z) - Jrti(Iz) /я+1/зО),
второго рода
yn(z) = Jn(i2z) Yn+lJ2(z)
и третьего рода
hgXz) ±=Mz) + />„(2) - 4ЩП) ВДшОО.
hi?\z) =Jn(Z) ~ iyn(z) = V^/(2i)
Пары функций Jn(z), yn(z) и h(nl)(z), h\?\z) являются линейно независимыми решениями уравнения 10.1.1 для любого п. Об общих свойствах решений см. в 9.11.
Разложения в степенной ряд (см. 9.1.2, 9.1.10)
10.1.2 .jn(z) =-
'{'-г
1 ¦ 3 • S ... (2и + 1)
z'/2 , (z'!2f
1!(2л + 3) 2<(2п + 3).(2n + 5)
ImftM- '-3'5 -PiL^JLx
ZM+1
z2/2
-Y
1 1 !О -
: + ;
iz'?f
In) 21(1-2») (З
- 2л) '"}
(л - 0, 1, 2, ...).
10.1.4. z-%(z)
Пределы прн ¦¦> I 1
1 -3-5...(20 + 1)
10.1.5. z"«j>„(z) -.-1-3-5... (2п-1) (п - 0, 1, 2,...).
Вронскианы
10.1.6. WlUz),
10.1.7. W(z)} = -2Й-" (л - 0, 1, 2, ...).
Выражения через элементарные функции
10.1.8. Mz) = г~» [?(л + 1/2, 2) sin (z - лтт/2) +
+ ??(л + 1/2, г) cos (г - ля/2).
10.1.9. (-^"+'2-4^+1/2,2)005(1+114/2)-
- 6(л + 1/2, г) Sto (г + mt/2)],
^л + 1/2, г) =
= 1 -
Ji±J)L W+ OLtMw
2!Г(л — 1) 4!Г(л-3)
[я/2]
= ?(-i)'<» + 1/2, аде»)-«,
2(,1 + 1/2,2) = ("1; (22Г -1 Il (л)
З ІГ(л — 2) 5 !Г(л — 4) '
Ult--I )/2]
= ? (-D1 (л+ 1/2, 2І+ 1)(22)-'
(л - 0, 1, 2,...).10.1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
(п + 1/2, *)-
Ol + к)\ к\Т(п - і + 1)
1 2 3 4 5
1 2
г 6 12
3 12 60 120
4 20 ISO 840 1680
5 30 420 3360 15120 30240
10.1.10. л(г) = /»(г) Sin г + (-l)"+1/-»-i(z) cos z, Mz) = z~\ MD - z-',
/-1« +Л+і(г) = (2я + 1)г*/.й
(и = 0, ±1, ±2.....).
Функции Jn (z), уп (г) для и = 0, 1, 2 siiiz
10.1.11. л(г) =-.
z
. . ч sin Z COS Z
ЛМ = —;----
Z2 Г
., л (• 3 1 ) . 3
Js(Z) =I---I sm Z — — cos z.
U" z I z'
10.1.12. Л(г) - - M(z) - - .
z
, ^ , , , COS Г sin Z
n(z) "Jj(Z) =------.
Zs Z
Mz) = - J-t(z) = + z.
Интеграл Пуассона н обобщение Гегенбауера (п - 0, 1, 2,...)
П
10.1.13. U(Z)--С cos (z cos Є) sin2"+10 dO
2я+1лЗ J о
(см. 9.1.20).
10.1.14. jn(z) = ( J е" <™>Р, (cos в) sin Є ,І8.
Сферические функции Бессела второго и третьего рода
10.1.15. y„(z) = (-l)"+V-»-i(z) (n-0, ±1, ±2, ...).
10.1.16. /Ii11(Z) = ,--Iz-V ? (я + I/2. *) (-2/z)-1.
о
10.1.17. W>(z) = i'^z-'e-" 2(" + 1/2, Wizrt-
о .
10.1.18. JiiU1W = 1(-1)"?"?, e,(z)--i(-l)*»(2) (и-0, 1, 2,...).
OJ O-S OA 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3
\п-0
,.к 4-і
' I L-^x ¦1/Ш
VAWYfr X \ А.
2 \ 4 \ б! \'l А,
\ А/V у \ Г"'
Рис. 10.1. /„(і); п » 0(1)3.
Рис. 10.3. Mx), Mx)', X = 10.
17 — под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Кармазиной258
10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА Рекуррентные соотношения
/,(г) -JJz), У Jz), ISKz), WKz) (л = О, ±1, ±2, ...)
10.1.19. A-I (г) + А-нй - (2/1 + 1) z-1A(Z).
10.1.20. лА-іО) - (и + 1) Am(Z) = (2л + 1) 4- A(Z).
dz
10.1.21. + — A(z)-A-,(z)
Z UZ
(см. 10.1.23).
10.1.22. іA(z)- — A(z) = A«(z)
Z OZ
(см. 10.1.24).
Производные
AW : A(Z). J«(z), WW, «"00 (и = 0, ±1, ±2, ...)
. [- —Г [z"+,A(z)l - г—^А-»«-\ Z dz J
(т = 1, 2, З,...).
Формулы Релея 1 d In sin z
10.1.25. A(z) - г" ( - J
10.1.26. уJz) - - z» ^ _ і
0і-0,1,2,...).
Модуль н фаза A(Z) - A Mws(Z) CCS 0n+i;a(z), Jn(z) = V"/(2z)M„+1,a(z)sin6„(iii.(z) (см. 9.2.17).
10.1.27. M(2z)] MiUM =
_ і Vs Ф-—(2" ~ ад!
(2z)2
(см. 9.2.28).
10.1.28. [л/(2г)] Mfyi(Z) = Jj(z) + jJM = z~'.
10.1.29. I^/(2z)] Mlz(Z) =j\(z) + jf(z) = z_a + z"4.
10.1.30. [n/(2z)J M?;2(z) =Л(г) + jl(z) = г-'+Зг-'+Яг-'.
Произведения функций
10.1.31. AW J«-iW - A-ifz) y„(z) = z"a.
10.1.32. A+i(z) J»-i(z) —J«-i(z) j„«(z) = (2л + l)z~a.
10.1.33. A(z)A(z) + Jo(Z) J„(z) =
(n = 0, 1, 2,...).
Аналитическое продолжение
10.1.34. JJzenn') = em'jjz).
10.1.35. J»(ze""") = (-1)- e"-'<yjz).
10.1.36. /ii11(zel!m+1>"<) - (-l)»W(z).
10.1.37. /,!,"(=Cfs"1+11"') = (- IW(Z)-
10.1.38. = Zii0(Z)
(1 = 1, 2; га, л = 0, 1, 2, ...). Производящие функции
10.1.39. - sin Vzs + 2zt - V- -t^-J-i(z) z V nl
(21/] < I z I).