Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
10.4.100. ііі'сад = (-l^-ViPtc^ - 3)/8].
10.4.101. Bi(Ji) = (-1)'й[3*(4і- 1)/8].
10.4.102. рг = (4s - 1) + Jlll2j •
10.4.103. + |ln2j-
10.4.104. Bi'(?.) =
=(-l)*V2e-»<'%[—(4.5-1)+ -ln2 L 8 1
10.4.105. Bi(Pi) »
¦ (-1)"-1 V2e""sSi (4j - 3) + j In 2
ЭЧНО бОЛЬШОЄ. /(Z) ~ Ml + - Z-' - - Zj +
I 48 36
где I z I — достаточно большое,
1080 56875 69 67296
S(z)~z!
A(Z)'
•fi-2 { 48
zJ + — z~* 48 288
186 83371
77125 _,_ 82944 1623755 96875
3344 30208 _ 181223 207360 9 11458 84361
-Z-' +
1911 02976
iZ1"^
48 4608
, 23 97875 , + , г - -
J1(Z)-^Z-1" |l -1 2-4-j KU. ФУНКЦИИ SPi РЙ
269
Формальные и асимптотические решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с точками ветвления
Рассмотрим уравнение
10.4.106. W H- a(z, \yw' + b(z, X) W = 0,
в котором X — действительный или комплексный параметр, u(z, А) — аналитическая функция z (для фиксированного X), а t'O» X) — непрерывная функция z в той же области z-плоскости. Преобразованием
10.4.107. W(z) - w(z) ехр j - ^ a(t, X)
уравнепие 10.4.106 может быть приведено к виду
10.4.108. vv" + ф(z, X) w = 0,
ф(2, X) = b(z, a\z, X) - - — o(z, X).
4 2 dz
Если 9(z, л) может быть записана в виде
10.4.109. ф<г, X) = A1P(Z) + q(z, X),
где q(z, X) ограничена в области R плоскости z, то нули
функции />(г) в области R являются так называемыми точками ветвления уравнения 10.4.108.
Частный случай W 4- [X2z + q(z, X)} w — 0
Пусть X = ! XI eib> изменяется в области S:
1X15= XoO 0), Ss а «S о>2.
Предполагается, что q(z, X) непрерывна по z для | z \ < г
при X, принадлежащих S, и q(z, X) — ? 4n(z) Х_я лри
о
X-5- со в области S.
Формальное решение в виде ряда
10.4.110. и>(г) = u(z) 5 cpft(z) X-" + X-V(z) 1 ф„(г) Х~я,
0 0
где и" + X2ZK = О,
9o(z) = го, фо(г) = z~W2ci, Со, Ci — константы,
<р*+і(г) - - I W*) - Ш dt,
ф„(2) = і Z-1'2 Jt~112 |<(/H f^ fP^dt
(n = 0, 1, 2, ...).
Равномерные асимнтоі-ическис разложения решений
Пусть z принимает действительные значения. Уравнение имеет вид
10.4.111. у" + [Xsx + q(x, X)] у = О,
где д: изменяется на ограниченном интервале а < х < Ь, содержащем начало координат, a q(x, X) непрерывна по л:
на интервале a ^ х ^ b для каждого фиксированного X из области S. Тогда имеют место следующие асимптотические представления:
(I) Если X — действительное положительное, то при X OO существуют такие решения ЛоСО И _Уі(х), для которых имеют место равномерные по х асимптотические разложения: на интервале a ^ ж < 0
10.4.112. j>oCc) - Аі(—Х2/Зл-) [1 + O(X1)J1 M*) - Bi(~7?'*x) [1 + OfX-1)],
а на интервале 0 < х < Ь
10.4.113. у0(х) « Ai(-X2>sx) Ц + OCX"1)! +
+ Ві(—Х2/Зл') OCX-1), Уі(х) = ВІ(—Xs/8 .v)[l + OCX"1)] +
+ Ai(-Xs'3*) OCX"1).
(II) Если Re X5? 0, Im X Ф 0, [ X | -*¦ oo, то имеются такие решения >'<,(*), у\(х), для которых следующие разложения равномерны по .г на интервале a ^ х < Ь:
10.4.114. уа(х) = AiC-X2^x) [1 + O(TT1)I У1(х) = Bi( —Ха'вл;) [1 + OCX"1)].
Другие представления см. в [10.4].
Если z — комплексное (ограниченное или неограниченное), то при некоторых условиях формальное решение в виде ряда 10.4.110 переходит в равномерное асимптотическое разложение. Эщ условия рассмотрены в [10.12] для случая, когда <у(",Х) не зависит от X и Х->- со при фиксированном <о, а также в [10.14] — когда X лежит в любой области комплексной плоскости. См. также г10.2; 10.9; 10.10].
Общий случай w* + [X3P(Z) + q(z, X)] w = О
Пусть X - I XI eia, где I Х| & Х0(> 0) и - я *S <а < тс. Предположим, что p(z) — аналитическая функция в области R и имеет в этой области нуль z — z0. Кроме того, для фиксированного X функция q(z, X) аналитическая по z (z принадлежит R). Тогда преобразование Е, ---- Z,(z), v — = [j?(z) / S]1'4 w(z), где t, определяется как (единственное) решение уравнения
10.4.115.
приводит к частному случаю
10.4.116. + [ХЧ + М, X)] v = 0,
/«¦ніг— 1ТШ1-
Пример. Рассмотрим уравнение 10.4.117. у" + - ^Xa - -^-J X-i^ у - 0,
для которого точки X = 0, оо являются особыми точками Hi = I- точкой ветвления. Частными решениями этого уравнения являются функции (Хд), л^УхСлл:) (см,
9.1.49). 270
10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
10.4.118. v(l) = удовлетворяет уравнению
Уравнение 10.4.115 принимает вид І-Щ х'-1 (dx) " х*
псуда
2/3(- О»'" = - Vl -х' + In JC-1Cl + Vl - Xs)
(0 < X < 1),
2/3 5s'a = Vxa - 1 - arccos х-1 (1 < X < OO).
Таким образом,
:т уравнению
10.4.Ш. Л + Гхч --L-+2- г = 0,
de L 165s 4 (Xa-I)-J
которое сводится к уравнению 10.4.111, если в последнем заменить X на a ?(5, X) не зависит от X.
Предположим, что Re л > О, Im X Ф 0. Согласно первому из соотношений 10.4.114 уравнение 30.4.119 имеет решение t>o(?) (т.е. решение j'oW уравнения 10.4.117), для которого преде іавлеігае
/у2 _ 1 41/4
10.4.120. Ы^) = F^jT-I =
« Аі(~Хв'3?) [1 + OQr1]) является равномерным по х на отрезке 0 < д: < со при X-*оо. Чтобы выразить решение .УоС*) через функции х1/2Л(Хд:), л1/2Ух(Хл:), ограничим х пределами 0 < х =S b < 1 (при этом согласно 10.4.118 с отрицательно) и заменим функцию Эйри ее асимптотическим представлением 10.4.59. Получим
