Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Vя/(2х) In+ua(x) и JtzI(Ix) I-a-iJ2(x)
приблизительно равны, т.е. когда х достаточно велико, вычисляем JtzK2х) Kn+1/Z(x) по формуле 10.2.15. Значения коэффициентов (п -J- 1/2, к) даны в табл. 10.1.9.
Пример 3. Вычислить JkI(Ix) Izri(X) и J к/(2х) Kya(x) для X = 16.2.
В соответствии с 10.2.13 имеем
JkI(Ix) 15/а(х) = [(3 + хъ) sh хЦх1 - (3 ch х)1х\
Из табл. 4.4 находим ch 16.2 =(6)5.4267 59950 и равное ему с таким числом значащих цифр значение sh 16.2. Следовательно,
^ ти/16.2 /я;а(16.2) = (0.06243 402371 -
- 0.01143 118427) [(6)5.4267 59950] =
=» 338814.4594 - 62034.29298 = 276780.1664.
Чтобы вычислить у^7с/16,2 А"Б;2(16.2), используем формулу 10,2.17 и получим
Vi "/16-2 WI6-2) - "r^ [тег+ ¦+ Wi?]-
= (-7) 2.8945 38069{0.036932 60400] -
=• (-8) 1.0690 28283.
Чтобы вычислить J Kj(2x) Ia+1/2(x), 3 < 8, для значений х, лежащих в области применения табл. 10.9, выбе-рем из этой таблицы значения функций Jr.l(2x) Iibjs(х) и Jk',(2x) Iщг(х) для заданных значений х и используем эти значения в качестве начальных в рекуррентном процессе по формуле 10.2.18 при убывании п.
Чтобы вычислить JizI(Ix) Кп+1/а(х) для некоторого целого п вне области изменения аргумента табл. 10.9, с помощью формулы 10.2.15 или табл. 10.8 найдем величины J^J(Ix) К112(х), J к1(2х) К3!2(х), для требуемого значения х. Используем эти величины как начальные значения при вычислении по рекуррентной формуле 10.2.18 при возрастании п. Если X лежит внутри области изменения аргумента табл. 10,9 и п > 10, то рекуррентный процесс может быть начат с V тс/(2д) Кш^(х) и Jnj(2x) K2112(X), полученных по табл. 10.9. 272
«. ФУНКЦИИ ееССЕяя дробного Порядка
Пример 4. Вычислить V~/(2х) К1112(х), для х = 3.6. Для X = 3.6 из табл. 10.8 получим
V TtI(Ix)KllJx) = 0.01192 222,
Vn7(H) KvJx) ™ 0.01523 3952.
Рекуррентное соотношение 10.2.18 дает последовательно
-|/і-тг/3.6 Kt,,(3.6).
- 0.01192 222 --і- (0.01523 3952) - - 0.02461 718,
3.6
у_1 Jt/з.б К,,s(3.6)= 0.01523 3952 +
+ — (0.02461 718) ™ 0.04942 4480, 3.6
¦ it/3.6 ЯГ.ДЗ.б) =¦ -0.02461 718 -
3.6
(0.04942 4480) - - 0.12072 034,
У -І- тг/3.6 ЙГи/я(3.6) = 0.04942 4480 +
+ — (0.12072 034) = 0.35122 533.
3.6
Для контроля рекуррентный процесс может выполняться до п = 9 и значение |/тс/3.6 Klu/J3.6), полученное
таким образом, можно сравнить с соответствующим значением из табл. 10.9._
Чтобы вычислить V к1(2х) In+trJx), когда лих находятся вне области табличных аргументов табл. 10.9, используем метод, описанный в работе [9.20].
Функции Эйри
Когда X больше единицы, для вычисления AZvI и !ЇІҐ.0 используются вспомогательные функции из табл 10.11.
Пример 5. Вычислить Ai(x) идя х -= 4.5. Прежде всего, для X — 4.5 имеем
5-і. х"" - 6.36396 1029, - 0.15713 48403.
3
Теперь в табл. 10.11 находим /(—?) = 0.55848 24 и, следовательно,
Ai(4.5) = — (4.5)-^(0.55848 24)ехр(- 6.363961029) = 2
¦ — (0.68658 905) (0.55848 24)(0.00172 25302) -2
Чтобы вычислить нули с, с' решения у(х) урашения
у" — ху = 0 и его производной у'(х) соответственно, могут быть использованы следующие формулы, в которых d и ^'означают приближения к с и с'. Кроме того, « -уШуШ V - y'(d')ld"y(d')-.
c-d-u- 2d — +2— _ 31 41
- 24rfa - + f 51
і + 720d>) - + 7!
+ 5856/»- - (16640d + 40320Л - + ..., 81 9!
f va
с' — d'J 1 — V — — •
I 21
(3+2 d')-
• О.ОООЗЗ 02503.
- (15 + Wd'') ---(105 + 76d'* + 24^'') - -
41 51
- (945 + JSedrt + 272(/'") - ...J .
y'(c) - y'(d)l 1 -d- + - - 3d*- + Ш - -I 21 31 41 51
— (14 + 45d3) — + 47Ы3^ -(1432^ + 1575rf4)- + ...1.
61 71 81 I
y(c-)~y(d~){l-d"?-d' ^ -
- (3d'' + 3d'') - - (15d'' + Ш") - -
4f 5(
- (N)Sdfl + 10Ы'' + 4Sd'') - - ... )• 61 J
Пример 6. Вычислить нуль функции у(х) = Ai(jc) — — Bi(Jt) вблизи d = —0.4. Из табл. 10.11 находим
_у(—0.4) = 0.02420 467, /(-0.4) = -0.71276 627,
откуда и =- >(—0.4)//(-0.4) = -0.03395 8776. По формуле, приведенной выше, имеем
с = -0.4 + 0.03395 8776 - 0.00000 5221 +
+ 0.00000 0111 + 0.00000 0001 = - 0.36604 6333,
у'(с) = (-0.71276 627)(1 + 0.00023 0640 -
- 0.00000 6527 - 0.00000 0027 + 0.00000 0002) =
= (-0.71276 627) (1.00022 4088) = -0.71292 599. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПОРЯДКОВ 0, 1 и 2
273
0.0 0.1 0.2 0.5 0.4
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8 1.9
2.0 2.1 2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8 2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
A1M
1.00000 ООО 0.99833 417 0.99334 665 0.98506 736 0.97354 586
0.95885 100 0.94107 079 0.92031 098 0.89669 511 0.87036 323
0.84147 098 0,81018 851 0.77669 924 0.74119 860 0.70389 266
0.66499 666 0.62473 350
0.58333 224
0.54102 646
0.49805 268
0.45464 871 0.41105 208
0.36749 837
0.32421 966 0.28144 299
0.23938 886 0.19826 976
0.15828 884
0.11963 863
0.08249 9769
0.04704 0003
