Джироламо Кардано - Гутер Р.С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство формулы Тартальи Кардано дает геометрическим путем на частном примере — уравнении х3 + 6х=20.
Решению десяти уравнений третьей степени, в которых встречается слагаемое с х2, Кардано посвящает главы с четырнадцатой по двадцать третью. Основная его идея состоит в том, чтобы, используя подстановки определенного вида, избавиться в этих уравнениях от квадратичного члена и свести их к одному из уравнений Тартальи. Иначе говоря, используя рациональное соотношение x=f (у), он трансформирует различные типы уравнения x3+px2 + qx + r = 0 в различные типы уравнения #3+W + g=0 и определяет значения корней х первого уравнения в функции корней у второго. Для уравнения
х3 + г=рх2 Кардано применяет подстановку At= —— , в
У
остальных девяти случаях использует выражения х=у+ -~ рих=у — ±- р
(в зависимости от того, находится ли квадратичный член в правой или левой части соответственно). Кроме того, в уравнении х3+рх2 = г он иногда избавляется от квадратичного члена с помощью подстановки х2=у2 — р, а в
уравнении x3 + qx=px2 + r — с помощью х=-^-р — у. Кардано посвятил доказательству «справедливости и целесообразности» предложенных им подстановок отдельную, седьмую главу «Великого искусства», видимо, стоившую ему большого умственного напряжения.
Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться в том, что все подстановки приводят к желаемому результату. Мы же остановимся на одном моменте, связанном с решением кубических уравнений, в которых встречается слагаемое с первой степенью неизвестного. Если к такому уравнению применить преобразование х=-\-р±у, тогда отрицательные значения у
о
трансформированного уравнения будут соответствовать
159
положительным значениям х исходного. Поэтому Карда-но вынужден был принимать во внимание отрицательные и нулевые значения корней уравнения с у. Признание отрицательных корней позволило ему, в частности, едва ли не первому прийти к мысли о существовании двух корней всякого квадратного уравнения. Однако подобно своим современникам Кардано рассматривал отрицательные числа как особый род величин, характеризуемый термином minus purum (чистый минус). Поэтому, не исключая из рассмотрения отрицательных корней, он не придавал им самостоятельного значения, называл их fictae (ложные) или falsae (фальшивые), в отличие от положительных, «истинных» (verae) корней, и рассматривал в качестве вспомогательного средства для нахождения положительных корней уравнений с неизвестной х.
А для того чтобы найти отрицательные корни уравнения, Кардано пользуется еще одной подстановкой: х = = —у. При этом преобразовании меняют знак слагаемые нечетной степени и остаются неизменными слагаемые четной степени, и, таким образом, уравнение трансформируется в другое, корни которого имеют то же абсолютное значение, что и у исходного, но противоположный знак. «Нахождением отрицательного корня мы всегда находим соответствующий положительный корень другого уравнения»,— пишет Кардано. Он замечает, в частности, что если уравнение содержит только слагаемые четной степени и постоянные и если оно имеет положительные корни, то оно обладает столькими же отрицательными корнями с теми же абсолютными значениями.
Во многих главах «Великого искусства» Кардано приводит примеры кубических уравнений, которые могут быть решены не через общие формулы, а с помощью некоторых искусственных приемов. В частности, уравнения
х3+рх2 + -^- P2X = г и хг + -\- р2х=рх2+ г он рекомендует
О О
сначала преобразовать в(х±-т) = г±^=-, а затем из-
влечь кубический корень из обеих частей. Особенно много таких примеров в других книгах Миланца — «Правило Ализа» и «Великое искусство арифметики».
Тридцать девятая глава «Великого искусства» посвящена уравнениям четвертой степени, их классификации и методам решения. Хотя Кардано привел в «Практике арифметики» несколько примеров уравнений четвертой
з
160
степени, решенных им тем же приемом, который он применял и для кубических уравнений, найти общую формулу решения ему так и не удалось. Честь этого замечательного открытия принадлежит Лодовико Феррари.
Около 1540 года да Кои предложил ученику Кардано следующую задачу: «Разделить число 10 на три части так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию, причем произведение первых двух частей равнялось 6». Легко видеть, что эта задача сводится к решению уравнения четвертой степени. Действительно, пусть X есть
6 д;3 6
средняя часть. Тогда по условию: — ;х = х: -^- или—,+;
H-*+-?- = 10, и следовательно,
х4 + 6х2 + 36 = 60*. (26)
Следуя приему, предложенному Кардано, Феррари прибавил к обоим частям (26) по 6х2, обратив тем самым левую часть уравнения в полный квадрат:
(х2 +6)2 =-60*+ 6*2. (27)
Если бы и правая часть (27) тоже была квадратом, то решение было бы очевидным. Поскольку это не так, то потребовалось дальнейшее развитие идеи Кардано, и Феррари задался целью найти выражение, содержащее новую неизвестную, которое, обращая в полный квадрат левую часть исходного уравнения, обращало бы (в зависимости от этой неизвестной) в полный квадрат также и правую часть. Обозначим новую неизвестную через у. Очевидно, что для того, чтобы левая часть (27) обращалась при добавлении к ней новой неизвестной в полный квадрат (#2 + 6 + у)2, ее необходимо дополнить выражением 2 (*2 + 6) у+ у2.
