Джироламо Кардано - Гутер Р.С.
Скачать (прямая ссылка):
2. Крайние деноминации равны средним. Примеры: я3+10=6*2, x4+3x3+10 = 2x2+6.t. Здесь два изменения
* «Если в данном уравнении хт+а{хт +.«+а^я+а^О сосчитаем число перемен и повторений знаков между его последовательными членами, то окажется, что уравнение может иметь столько корней положительных, сколько перемен знаков, и столько корней отрицательных, сколько повторений знаков».
164
знака, и уравнение имеет два корня, если только оно не ложное.
3. Крайние и средние деноминации уравниваются, чередуясь между собой, как, например, в уравнении х3 + ,+qx=px2 + r. Здесь более чем два изменения знака, и уравнение может иметь три корня.
Кардано доказывает сформулированные положения. Например, в случае уравнения х3 + г=рх2 его рассуждения таковы. Имеются величины х<р, говорит он, которые доставляют х3 + г<рх2. Тогда по мере увеличения х кубический член увеличивается быстрее, чем рх2, а по мере того как X становится меньше, х3 уменьшается медленнее, чем рх2, поскольку пропорция Xі: рх2 = х : р увеличивается и уменьшается вместе с соответствующим изменением X.
Следовательно, неравенство х3 + г<рх2 можно преобразовать в равенство.х3 + г=рх2, которое можно заставить посредством изменения X как увеличиваться, так и уменьшаться. Поэтому уравнение имеет два корня.
Конечно, подобные доказательства лишены строгости, и. их следует рассматривать скорее как комментарии к сформулированным положениям. Кардано использует их в главе первой, где анализирует характер корней трехчленных кубических уравнений. Для уравнения (17), например, он указывает следующие возможные случаи:
а) при -W-q у -Ir- q=r два корня, один положитель-
ный и один отрицательный, абсолютная величина положительного корня в два раза больше абсолютной величины отрицательного;
б) при -у q у ~^с1>г — три корня, один положительный и два отрицательных: абсолютная величина положительного корня является суммой абсолютных величин
в) при -q-# J/-O- <1<г — °ДИН корень, положитель-
Аналогичным образом анализируются остальные пять видов трехчленных уравнений. Как утверждал впоследствии голландский историк математики Н. Л. В. А. Гра-велар, Карданово «различение характера корней в трехчленных уравнениях даже с современной точки зрения едва ли оставляет желать лучшего».
2
двух отрицательных_корней;
ный.
165
Хотя Кардано при изложении реаультатов своего исследования ограничился действительными значениями корней, все же мнимые величины не ускользнули от его внимания. Он впервые столкнулся с ними при решении
лось извлекать кубический корень из мнимой величины. После многих неудачных попыток, он понял, что столкнулся с «неприводимым случаем» (casus irreducibilis) и обратился за разъяснением к Тарталье, но тот не захотел (а точнее — не мог) прмочь Миланцу. Этот «неприводимый случай» очень смущал Кардано, так как ограничивал применимость формулы дель Ферро — Тартальи. Он не понимал, почему, например, при решении уравнения xz—7X=6 получается «бессмысленный» результат а:=
нению удовлетворяет «истинный» корень я=3*. Так же, как впоследствии Р. Бомбелли, он пытался свести куби-
ческие корни вида у (а± V Ь) к виду с± Vd, чтобы
при сложении мнимые числа исчезли. Он посвятил много времени этим попыткам, получил интересные частные результаты, которые затем привел в «Правиле Ализа», но окончательно справиться с «неприводимым случаем» так и не смог. Однако в процессе своих исследований Кардано сделал важный шаг в понимании природы мнимых величин, которые он называл «минусом корня» (radix т) или «воображаемым минусом» (т sophisticum). Решая задачу о делении 10 на две части, произведение которых равно 40 (то есть определяя корень квадратного уравнения X (10—л:) =40), он получил 5-F V—15 и 5— V—15, При этом он показал, что если с этими числами производить вычисления как с обычными двучленами и полагать— У—15« 1/15=15, то они действительно будут удовлетворять условию задачи. В тридцать седьмой главе «Великого искусства» Кардано ставит одну за другой четыре задачи, которые сводятся к решению уравнения x2+r=qx\ требуется найти две величины, для которых:
* Рассматриваемое уравнение имеет еще два отрицательных корня: Х2——1, #3=—2. Вообще же можно показать, что в неприводимом случае все корни действительные,
V z+v-w+V *-v
—-==-, в то время как урав-
166
сумма = 6, а произведение =40, ответ: 3± V—31; сумма=6, а произведение =—40, ответ: 10 и —4; сумма = —6, а произведение =40, ответ: 4 и —10; сумма = —6, а произведение =—40, ответ: —3±
± K-Si.
Он отмечает, что вторая и третья задача дают «чистый минус», а первая и четвертая — «воображаемый минус». Он вычисляет суммы и произведения полученных ответов и подчеркивает, что первые всегда равны коэффициенту при первой степени неизвестной (q), а вторые — свободному члену (г).
Из приведенных примеров ясно, что Кардано понимал необходимость учета комплексных корней при решении квадратных уравнений. Но более того, в тех случаях, когда ему удавалось свести решение кубического уравнения (например, хъ + 2\=2х) к решению квадратного (х2+7 = 3х), которому удовлетворяли комплексные корни— "f"± "J" V—19, от внимания не мог ускользнуть тот факт, что среди корней исходного уравнения также
