Джироламо Кардано - Гутер Р.С.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда (27) представится в виде
(*2 + 6 + */)2 = 60л: + 6л:2 + 2 (*2+6) у + у2
или
(*2 + 6+у)2=(2у + 6) *2 + 60*+ (у2+ 12у). (28)
Определим теперь у из условия обратимости правой части в полный квадрат:
(2у + 6) (у2+ 12*/) =30*.
6. Заказ 485
161
Отсюда получаем кубическое уравнение, которое называют обычно кубической резольвентой и которое позволяет определить у:
у3+ 15//2+36*/==450. (29)
Полагая 2у + 6=у, представим (28) в виде:
откуда, после извлечения корня, имеем:
х2 + ь + у = ху^+Ы (30)
V Y
Итак, остается подставить в (30) значение у, найденное из (29), и решить квадратное уравнение.
Изложив метод Феррари, Кардано дал его геометрическое доказательсгво и показал, что предложенная процедура справедлива не только для различных видов уравнений четвертой степени типа x*+px2 + qx + r=0 (то есть уравнений без кубического слагаемого), но и для уравнений без линейного слагаемого (то есть x* + sxz+] \+рх2+г=0), которые сводятся к уравнениям первого
типа с помощью подстановки х==-у- Удивительно, что ни
Феррари, ни Кардано не обратили внимания на то, что эта же процедура пригодна и для решения полного уравнения четвертой степени xA+sx3+px2 + qx + r=0, так как
подстановка х=у--1- приводит его к уравнению без
кубического слагаемого. И. Цейтен замечает по этому поводу: «Идея была слишком новой, чтобы Кардано попытался сделать из нее полную теорию, параллельно той, что он сделал для кубических уравнений, где любой пробел мог быть признаком незнания».
В той же тридцать девятой главе Кардано привел ряд примеров уравнений четвертой степени, которые он решил методом, отличным от предложенного Феррари,
После открытия способов решения уравнений третьей и четвертой степеней естественно ожидать появления попыток изыскания подобных же способов и для уравнений высших степеней. Принимал ли Кардано участие в этих попытках, нам неизвестно. Во всяком случае он об этом
162
не сообщает, ограничившись решением некоторых частных типов уравнений (например, уравнения x6+tx*+} H-/?2*2+ г3== 5л;3 в «Правиле Ализа»),
Отметим также, что в двадцать седьмой — тридцать восьмой главах «Великого искусства» Кардано привел множество приемов, позволяющих решать некоторые уравнения специального вида (например, х2+у2 = г, ху+\ + х+у = г), путем введения облегчающих вспомогательных величин, и предложил метод приближенного нахождения корней. Суть этого метода, названного автором «золотым правилом», состоит в следующем.
Пусть задано уравнение с положительными коэффициентами f (x) = aQxn + aix(n~-u + ... +a;tx=k. Тогда если для положительного целого х=а справедливо: f (a)>k и f (a+\)<k, то корень уравнения находится между значениями а и а + 1. Поскольку
H*)-f(*) _в<1 f(a+\)-f(a) -^1'
то в качестве второго приближения можно выбрать х= = а + 0 и т. д. «Золотое правило» является дальнейшим развитием «правила двойного ложного положения», широко применявшегося арабскими алгебраистами.
Итак, усилиями дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари в первой половине XVI века были открыты способы решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. Предложенный Кардано прием искусственных подстановок оказался весьма плодотворным для дальнейшего развития алгебры. Он явился той почвой, на которой великому французскому математику Франсуа Виету (1540—1603) удалось создать применяемый и поныне «общий способ преобразования уравнений». Но заслуги миланского врача этим не ограничиваются: он первым из математиков не только дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических уравнений. И в этом главная историческая ценность «Великого искусства»!
Прежде всего заметим, что до появления этой книги уравнения с более чем одним корнем относили к диковинкам, а отрицательные корни, как правило, во внимание вообще не принимались. Кардано же, решая в восемна-
163
дцатой главе уравнения #3+l(k = 6#2+4, xz+2lx=9x2+) ,+5, ^3+26х=12дс2+51нашел, что каждое из них имеет по три корня — 2, 2+J/ 2, 2—]/2; 5, 2+/3, 2— К3;2,5+
'+': Kl9, 5— 1^19 соответственно. Более того, в первой главе книги, написанной, вероятно, позже остальных глав, он приводит примеры уравнений, имеющих различное число корней:
х4 + 12 = 6л:2 — ни одного отдельного корня,
хг + 6х=20— один корень (2),
дс2+4дс=21 —два корня (3, —7),
х* + Ux2 = 72 — три корня (—3, 40—4, —40—4),
х\+12 = Ix2 — четыре корня (2, —2, 3, —3).
Кардано, таким образом, возводит исключение в правило и открывает перед алгеброй широкие горизонты, закладывая основы для определения характера и числа корней уравнения по его виду и виду его коэффициентов. В «Великом искусстве» он учит различать не только характер корней трехчленных кубических уравнений, но чзадолго до Декарта высказывает основополагающую идею «правила знаков» *. Относительно этого правила Кардано приводит в главе семнадцатой следующие соображения. Выделяя в уравнении «крайние деноминации» (члены) и «средние», или «вставные деноминации», он рассматривает такие случаи:
1. Крайние деноминации равны между собой (иначе говоря, все члены уравнения по одну сторону от знака равенства имеют более высокую степень, чем члены, находящиеся по другую сторону. Примеры: х3~3х2+7х+] + 20, х*+3jc2=7х + 20, a;3=3*2 + 17a:+20. В этом случае имеется одно изменение знака и уравнение имеет один (положительный) корень.
