Джироламо Кардано - Гутер Р.С.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, если постоянный член уравнения (і)г определяется выражением (9), то одним из его корней будет
у 2ар—3а2 — а.
Это важный, но все-таки частный результат. Все, что удалось найти Тарталье, заключается в обнаружении вида одного из корней (1) и открытия способа составления кубического уравнения по его заданному корню типа Yb — а. Для того же, чтобы получить общую формулу решения, необходимо определить значение а из (9), то есть опять-таки решить полное кубическое уравнение, чего Тарталья сделать не мог.
Следующим его достижением было решение уравнения вида
&+qx=r. (10)
Вероятно, так же как и в предыдущем случае, он попытался искать решение в форме какого-либо иррационального выражения и методом «проб и ошибок» пришел к двучлену
3 —— 3 — X = Y и—у и. (11)
Если возвести (11) в куб:
х3 = ц — з^Т^+ЗУ^^— и, (12)
3,--
помножить обе части (11) на З У uv:
3^w-X=ZyIi2V — ъУ~м2 (13)
155
и почленно сложить (12) и (13), то придем к уравнению
3 _
Jp-T-SV uv*x = u — v. (14)
Из сразнения (10) и (14) следует, что
q = 3 V uv\ r = u — v. (15)
Из (15) получим уравнение для отыскания и:
U2_ur_\±^ =о.
Найдя затем и проделав несложные выкладки, мы придем к знаменитой формуле, которая во всех учебниках алгебры именуется (не совсем справедливо) формулой Кардано:
-Vv
2/ 1 V 3 / 2 е
Аналогичным путем, отправляясь от выражения
3-- За —
X= у и +у V9
Тарталья получил решение уравнения вида
x3 = qx+r. (16)
25 марта 1539 года он сообщил «великий секрет» Кардано в виде capitola in rima (главы в стихах):
Когда куб рядом с вещью
Вместе равны какому-либо числу,
То найди два других числа,
На него разнящихся,
Потом допусти и всегда держись
Этого правила, что их произведение
Должно равняться кубу трети вещи.
Возьми от них стороны куба
И правильно вычти их.
Остаток даст тебе искомую вещь...
(«Куб рядом с вещью» — это xz + qx; «число» — г; «на него разнящихся» — и — v = r; произведение, равное
156
«кубу трети вещи» — UV= ; «правильно вычти их» —
3/— Zr—
V Ц — У v; «остаток» — это, разумеется, х).
Далее аналогичным образом излагалось правило решения уравнения (16); что касается третьего уравнения
x* + r=qx, (17)
то здесь Тарталья ограничился следующим замечанием: «Третье выражение... разрешается вторым ввиду того, что по природе своей они почти совпадают».
Этот «кулинарный рецепт», по характеру своему напоминавший правила средневековых практических арифметик, был, конечно, вполне достаточен для механического решения кубического уравнения, но не давал никаких указаний для понимания решения и доказательства формулы. Более того, даже такой опытный математик, как Кардано, поначалу его не понял. Попытавшись испытать формулу на уравнении x3 + 3x=10, он запутался, так как вместо UV=[^J ошибочно взял ии= -у и
вынужден был обратиться к автору «рецепта» за разъяснением. Тарталья в письме от 25 апреля 1539 года привел решение уравнения и объяснил Миланцу его ошибку, добавив, что «справедливость и целесообразность такого способа действий (то есть формулы.— Авт.) можно легко доказать геометрическим путем».
Итак, в начале мая 1539 года Кардано имел в своем распоряжении:
1) зарифмованные правила решения уравнений (10) и (16);
2) численный пример, разъясняющий применение правила для уравнения (10);
3) указание на геометрический способ доказательства формулы.
Ему оставалось:
1) найти правило решения уравнения (17);
2) доказать «справедливость... такого способа действия»;
3) найти способ решения остальных десяти кубических уравнений, иначе говоря, тех, в которых встречается квадрат неизвестной.
Результаты этих исследований Кардано вместе с изложением способа решения уравнений четвертой степени,
157
предложенного Феррари, и образуют основное содержание «Великого искусства».
Решение уравнений Тартальи обсуждается в одиннадцатой— тринадцатой главах книги и предварительно в главе шестой, где геометрическим путем доказываются «три предполагаемых, чрезвычайно полезных выражения»:
то из (22) следует, что х=у— z удовлетворяет уравнению Xs + qx = rt когда у и z определяются из уравнений 3yz = q Hj/3- z3 = r; аналогично из (21) видно, что х=у + +z удовлетворяет x3 = qx+r9 если у и г находятся из уравнений 3yz=q и y3+z3=r, что согласуется с capitolo in rima. Кардано предоставил читателям возможность самостоятельно найти решение уравнений 3yz=q и у3 + +23 = г, ограничившись лишь сообщением конечных результатов. Он привел также формулу решения (17), хотя и не указал, каким способом она была получена. Историки математики полагают, что это было сделано следующим образом.
Рассмотрим уравнение (17) и вспомогательное уравнение
После деления обеих частей (24) на x+w имеем
(y+z)3=y3jr 3y2z+3yz2+z\ (у — z)3—y3 — 3y3z+3yz2 — г3, (У3 —г3) : (у+z)=y2 — yz+z2.
(18) (19) (20)
Если (18) и (19) записать в виде:
(y+z)3=3yz (y + ^) + (y3+z3)> (y — z)3=3yz (y — z)+(y3 — z3),
(21) (22)
w3 = qw + r. Сложив почленно (17) и (23), получим x3 + w3 = q (x+w).
(23)
(24)
X2 — wx+w2=
(25)
откуда
158
где w — корень уравнения (23), для которого применимо правило Тартальи. Здесь, таким образом, использован способ, который Кардано ранее уже применял в «Практике арифметики».
