Джироламо Кардано - Гутер Р.С.
Скачать (прямая ссылка):
Алгебраические термины, которые использовали переводчики ал-Хорезми, представляли собой латинские эквиваленты арабских слов, обозначающих те же понятия. Неизвестная называлась res (вещь) или radix (корень), квадрат неизвестной — census (имущество), куб — cubus (куб), постоянная в уравнении — numerus (числа). Позднее итальянские математики использовали вместо латинского res народное cosa и иногда именовали алгебру arte delta cosa. Немцы в XV веке исказили cosa в coss, поэтому немецких алгебраистов называли также и «кос-систами». Упоминается «коссическое искусство» или «косе» и в первой русской арифметике Л. Магницкого.
Спустя примерно 350 лет после смерти ал-Хорезми результаты арабских алгебраистов изложил в своей «Книге абака» сын купца Боначчи из Пизы Леонардо, известный в истории математики как Леонардо Пизан-ский, или Фибоначчи. Его сочинение во многом способствовало усилению интереса европейцев к алгебре и появлению других алгебраических работ.
Европейская алгебра (как, впрочем, и арабская) вплоть до XV века не использовала символы, поэтому
152
уравнения записывались в словесной форме. Например, запись уравнения x2 + qx = r выглядела так: census eh radices aequantur numeris (квадрат и корни равны числам). Символическая алгебра впервые появилась в уже упоминавшейся нами «Сумме» Луки Пачоли.
В своей «Сумме» Лука Пачоли рассматривал правила решения уравнений первой и второй степени, а также некоторых частных видов уравнений четвертой степени. В соответствии с традицией, идущей от ал-Хорезми, он указывал для квадратных уравнений два корня, но отрицательный опускал; не рассматривались им также корни, равные нулю. Что же касается уравнений третьей степени, то, как мы уже говорили, Пачоли отрицал возможность их решения. «Сумма» как бы подводила итог результатам, полученным в алгебре до XV века. На это сочинение опирались в своем творчестве выдающиеся итальянские алгебраисты XVI века — дель Ферро, Тарталья, Кардано и Бомбелли.
Основная алгебраическая проблема, занимавшая Кардано,— изыскание способов решений уравнений третьей и четвертой степеней. В соответствии с математическими традициями своего времени он рассматривал только уравнения с положительными коэффициентами, поэтому, например, уравнение x3 + qx+r = 0, где #^0, распадалось у него на три отдельных случая: xs + qx = r\ #3 = = qx + r\ xz-\-r—qx (эти уравнения вслед за Кардано мы будем называть в дальнейшем «уравнениями Тартальи»), Кроме того, он никогда не записывал уравнения в канонической форме *, но следил, чтобы коэффициент при старшей степени неизвестной был равен единице. Математическая символика Кардано заимствована в основном у Пачоли.
Первые попытки решения кубического уравнения встречаются уже в «Практике арифметики». Правда, Кардано удалось справиться лишь с уравнениями частного вида, но методы, которые он применял, заслуживают внимания, так как впоследствии он с успехом использовал их и в «Великом искусстве». Он подметил, что кубическое уравнение иногда удается решить, если добавить в обе его части одно и то же выражение, так, чтобы
* Идея приравнивания уравнения нулю была чужда математикам Возрождения. Впервые каноническую форму уравнения привел англичанин Т. Гэрриот (1580—1621) в книге «Применение аналитического искусства».
153
образовался общий делитель, который можно было бы сократить. При этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного! Например, если в обе части уравнения 2*3+4*2 + 25=16л:+55 добавить 2а:2+ + l(k + 5, то после простейших преобразований можно получить (2а:+6) (а:2+ 5) = (2а:+6) (а;+10) или я2+5 =
=*+10, откуда х= ~ ± \V~2\-
Но частный результат, каким бы изящным методом он ни достигался, не идет ни в какое сравнение с общей формулой решения, которую Кардано так и не удалось отыскать. Поэтому можно представить себе его возбуждение, когда он узнал, что подобной формулой владеет простой учитель арифметики, В конце концов Миланцу удалось заполучить «великий секрет», и с этого времени начинается второй и наиболее плодотворный этап его алгебраического творчества. Но для того, чтобы по достоинству оценить результаты миланского врача, нам придется вернуться к работам Тартальи, ибо они были тем самым исходным пунктом, от которого началось восхождение Кардано к «аналитическим вершинам».
Первым кубическим уравнением, решенным Тартальей, было уравнение вида
а:3+ра:2 = л (1)
Он никогда не писал о пути, приведшим его к решению, но итальянскому историку математики Э. Бортолот-ти удалось восстановить ход его рассуждений.
Предположим, что корнем (1) является выражение
х= Yb —а. (2)
Возведем обе части его в квадрат и куб, получим соответственно
x2 = b + a2 — 2a Vb] (3)
двв_ (аЗ + ЗЬа) + (3a2+b) y\b. (4)
Умножим обе части (3) на За2 + Ь, а обе части (4) на 2а, сложение полученных результатов даст
2ах3+(За2 + &) х2=(а2 — Ь)2. (5)
Теперь разделим почленно (5) на 2а:
154
Из сравнения уравнений (1) и (6) следует, что
P- (7)
г- 1?? (8)
Найдем из (7) Ь = 2ар — За2 и, подставив в (8), получим
г=2а (2а —р)2. (9)
