Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, требуется соблюсти условие излучения.
Следуя Лонге-Хиггинсу [367], Саммерфилд [605, с. 47] с помощью разделения переменных получил для ?(г, 6, решение, соответствующее свободной моде в двух зонах (0<#і< <г<а2 и г>а2. Решение выражено через функции Ханкеля Н?) = /п + іУп и H^) = Zn — [Yn. Решение единственно по значению 0 при целых п. Это означает, что фаза колебаний остается неизменной после совершения каждого полного оборота вокруг острова. Не нарушая общности, значения п и г (а) можно считать положительными.
Решение содержит две системы гармонических волн (по крайней мере для больших значений п и действительной части параметра а). Траектории волн касательны к окружности г = = n/ku которую Лонге-Хиггинс [365] назвал «внутренней критической окружностью», причем
I=I1 2. (3.108)
Vgbt
Волны, движущиеся к краю шельфа, описываются выражением
A(a)ei{nb-'t)H{n)(kxr)i (3.109)
а волны, движущиеся к берегу — выражением
В(а)еі{пВ-оі)Н^(кгг). (ЗЛЮ)
135
В океане за пределами шельфа имеется система волн, распространяющихся от острова по прямым лучам, касательным к «внешней критической окружности», т. е. г = n/k2. Лонге-Хиг-гинс [367] показал, что на отрезке времени порядка одного периода уходящая в океан энергия мала по сравнению с энергией, содержащейся в пределах шельфа. Это соотношение тем меньше, чем большее расстояние отделяет внешнюю критическую окружность от края шельфа. Компоненты движения, заданные уравнениями (3.109) и (3.110), являются почти захваченными ра-диально осциллирующими волнами. Таким образом, шельф практически захватывает такие волны при условии
k*(j?- ^)» 1 (3.111)
и
~-<а2. (3.112)
Уравнение (3.111) дает
т4>У^. (зліз)
Почти захваченная мода (3.109) подходит к краю шельфа из-п
нутри, под углом — — U9 где
(ЗЛ14)
Последние выражения показывают, что угол падения волны больше, чем критический угол фс, так что имеет место полное внутреннее отражение волн на краю шельфа и они оказываются фактически захваченными в пределах шельфа.
Саммерфилд [605] получил следующее уравнение для частоты захваченных мод (штрих означает дифференцирование по аргументу):
(M2) W (A1AtO HS0' (A1O2) - W (A1O1) Н?} (A1O2)} -
- НУУ (A2O2) W (A1O1) Hf (A1O2) - H^ (A1O1) (A1O2)} = 0.
(3.115)
Это уравнение позволяет рассчитать частоты свободных волн о по четырем параметрам описанной выше конфигурации: оь а% h\ и h2. Саммерфилд на основании уравнения (3.115) заключил, что волны, которые могут обегать остров в разных направлениях, идентичны. Если радиус острова O1 равен нулю, что соответст-
136
вует случаю мели или подводной горы [365], то уравнение для частоты захваченной моды сводится к следующему:
у^н(*1} (M2) Л (M2) - Hf (M2) Jn (M2) =0. (3.116)
Для численного решения частотного уравнения Саммерфилд, как и в случае прямого берега, вводит безразмерные переменные и параметры:
V——.!fi- (безразмерная частота); (3.117)
(корень из отношения глубин —
отношение фазовых скоростей); (3.118) а7==-~- (относительный размер острова). (3.119)
Параметр е заключен в диапазоне 0 ^ є ^ 1, при этом малые значения е означают, что перепад глубин на краю шельфа велик, и наоборот. Пределы изменения а7 соответствуют подводной мели (а/ = 0) и изолированному острову (а7 = 1), а диапазон их значений определяется соотношением
0<а7< 1. (3.120)
Отметим противоположность значений параметров а7 и аь (в случае шельфа у прямого берега) в том смысле, что увеличение значений а7 соответствует сужению шельфа, тогда как в случае прямого берега ширина ступени возрастает с возрастанием значений aL.
В случае прямолинейного берега продольное волновое число т в размерной форме имеет сомножителем а2, его безразмерная форма обозначалась символом п. В настоящем случае соответствующим параметром служит азимутальное волновое число n/r. На краю шельфа оно равно /г/а2, и в частотном уравнении (3.115) порядок п функции Ханкеля Hn определяется азимутальным волновым числом, причем параметр п принимает только целые значения.
Уравнения (3.108), (3.117)-(3.119) дают k\a\—div, kxa2 = = v, &2a2=ev. Тогда безразмерные значения собственных частот можно найти как корни следующего выражения:
I (v; з, а7, ti) ^sH«0 (sv) Н(я1)' ((X7V) Hf (V) - Hf ((X7V) Hf (v) -
- Hf (sv) {Hf ((X7V) H(„2)(v) - Hf ((X7V) H^(V)}. (3.121)
Эти значения Саммерфилд определил численно. Чтобы найти частоты почти захваченных мод, он воспользовался так называемым методом «самосогласованности», т. е. путем приравнивая
137
полного изменения фазы при радиальном пересечении и возврата волн с неизменныхми 8 и ^ некоторой величине, кратной 2я.
Основываясь на вычислениях корней функции /(v; е, otj, п) методом aj-кривых, Саммерфилд [605, с. 68] установил: «...резонансные «свободные» волновые движения около цилиндрического острова, по существу, могут быть двух типов: «захвачен-но-истекающие» и «шельфово-островные». Первые имеют большее значение для возникновения самоподдерживающихся колебаний, особенно тех, которые почти захвачены на шельфе. Ответ на вопрос, будет или нет отдельная мода с азимутальным (вдоль края шельфа) волновым числом п/а2 захваченной на шельфе, зависит до некоторой степени от относительных величин п, є и (Xj. Соответствующие колебания над подводной горой также должны быть фактически захваченными. Далее, ^-кривая, отвечающая собственным частотам, показывает, что действие острова на моду незначительно, пока радиус его меньше, чем внутренний критический радиус для данной моды...».
