Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
/й2 (3.100)
Vgh
и показал [605, приложение 6], что |со| <0,1 при типичных значениях f, а2 и Аь Уравнения (3.85) и (3.100) дают:
<*4\ = (У ~ и>2 — и2)4* = va,
a2/2 = {ra2_e2(v2-«>2H=v?
И
/ ясо
z а V
Корни следующего уравнения дают те же собственные частоты, что и корни уравнения (3.98):
Z,(v; є, aLi It1 (о) = e2vA tg *LvA — v? —
V^ + ^(1_?2)^}. (злої)
Обозначение vffl/ указывает на корень функции L (v; е, aL) гі), соответствующий нулю /-й моды V0/. Если параметры п и R (V0)/) положительны, то V0)/ дает собственную частоту положительной моды при (о>0, и наоборот. Частота полностью захваченной /-й моды из-за вращения Земли изменяется на величину
Av0^ = К,- - voy) sign (^), (3.102)
которая обычно положительна при |cd/vo/|<S1. Саммерфилд проверил это, вычислив значения Av0)J для нескольких мод: п = = 1(1)8 и (0 = -0,3(0,05)0,3 (т. е. от 1 с шагом 1 до 8 и от —0,3 с шагом 0,05 до 0,3).
Саммерфилд пришел к следующим важным выводам (подробности изложены в приложениях к его работе).
1. Для заданного безразмерного продольного волнового числа п для /-й моды Av0)/«Аv-co/ и со>0 при аь, немного большем чем значение а/. При aL^>ot/ имеем Av6)/>Av-«/ —0. Для положительной моды значение срезающей ширины шельфа немного больше, а для отрицательной — немного меньше, чем при
132
отсутствии вращения. Для фундаментальной отрицательной моды имеем
— при Ot1-O1
П ПрИ GC7 -> OO
и предельное значение v©o не зависит от величины со.
Если а<С1, существует только одна волна, захваченная на шельфе: отрицательная фундаментальная мода с волновым числом т. При а->0 она переходит в волну Кельвина, при х = О бегущую вдоль стенки в воде глубиной A2. Болл [66] показал, что в этом случае она единственная полностью захваченная мода. Когда же а-^оо, предельная отрицательная, полностью захваченная волна есть снова волна Кельвина, бегущая в воде
глубиной Ai. Таким образом, предельные частоты, т. е. т ^ gh\
для случая а->0 и gh2 для случая а->оо, не зависят от значения f, если ІФО.
2. Для захваченных (волн с безразмерным продольным волновым числом п, если (Xl>оь/, справедливо следующее неравенство:
Av010 >'Av0,, > Avw2 > ... Avey.
Но если CtL лишь немного превосходит а/, то Av0)/ >AV0)/-!, а если «ь>а/, то Av0)/«Av0)Z-I.
3. Если (Xl в достаточное число раз больше а/, то значение Av0)/ убывает с ростом значения п {>п0) для /-й моды.
4. Для (XlXX/ и положительных значений / и со имеем
Av2u);- > Avey > Av_ey > Av при всех значениях п.
Свободные волны около круглого острова в океане
Вращение Земли отсутствует. На рис. 3.9 а показано следующее распределение глубин:
(Ai при ах < г < а2,
где г, 6 — полярные координаты, а\ — радиус круглого острова, a a2>ai и A2>Ai — константы. Отвесный берег при г = а, считается совершенным отражателем, зона а\<г<а2— это кольцеобразный шельф, зона г>а2 — океан, на краю шельфа при г = а2 имеет место разрыв глубины.
Как заметил Саммерфилд [605], эта модель обладает по меньшей мере двумя недостатками: постоянной шириной шельфа
133
и полной круговой симметрией острова. Первый из них присущ также и модели прямого берега, рассмотренной выше. Саммер-филд с целью восполнения второго недостатка рассмотрел эллиптическое мелководье и получил сдвиг частоты за счет асимметрии. Хотя эллиптический остров или мель не намного ближе к реальным, чем круговой, это все-таки является некоторым шагом в сторону природных форм.
Рис. 3.9.
а — меридиональное сечение однородного шельфа вокруг цилиндрического острова, б — то же, для параболического шельфа [605]. / — невозмущенная поверхность.
В предельном случае, когда а\ = 0, мы имеем круглую мель или подводную гору под слоем воды глубиной h{. Этот случай был изучен Лонге-Хиггинсом [367] при исследовании резонансных захваченных волн первого класса. Здесь под резонансными подразумеваются такие колебания, каждая из свободных мод которых не изменяет фазы после полного оборота вокруг мели.
Имеется разногласие по вопросу о возможности полного захвата волн на отмели с симметричными изобатами [365, 545]. Тут, по-видимому, происходит следующее: так же, как на шельфе у прямолинейного берега, на круговом шельфе существуют истекающие моды, но они уносят в океан очень немного энергии. В этом смысле их можно назвать «почти захваченными», а не «полностью захваченными» модами. Саммерфилд показал, что имеется единственное значение а\/а2 в промежутке (0, 1), при котором потеря энергии минимальна. Это означает, что сочетание острова и шельфа служит резонатором для свободных волн. Он указал также на две различные системы коле-
134
баний: захваченные и истекающие моды и волны, генерируемые в океане.
В дальнейших выкладках мы обозначим через (г, 6) часть решения ? (г, б, t), зависящую только от пространственных переменных. Она должна удовлетворять уравнению
Lv2+wJCI = 0' i=l>2> (ЗЛ04>
где
Т.ри следующих граничных условия аналогичны тем, которые ставились на прямом берегу:
дії
-^r = O при г = ах(ахф0)\ (3.105)
C1 = U приг = а2; (3.106)
дії д?
Al -^- = A2 -gf при V = CL2. (3.107)
