Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
124
денне /-й моды при ширине шельфа а-*0, установив прежде всего зависимость частоты G1 от значения а. Важный результат состоит в определении «секущей» ширины шельфа а/, которая разграничивает следующие ситуации: при а>а/
Oj — действительная; /-я мода полностью захвачена на шельфе; зависимость частоты а/ от ширины а легко находится из задачи на собственные значения;
при a<uj
Oj — комплексная; /-я мода уносит энергию с шельфа в океан; зависимость частоты а/ от ширины а можно найти только путем численной оценки.
Исследуем случай, когда вращение отсутствует, и рассмотрим те модификации результата, к которым приведет учет вращения. Пусть индекс і соответствует значениям глубины Ai и A2. Возвышение свободной поверхности ?* (х, у) должно удовлетворять уравнению (3.59):
v2 + -^-]c:=0; i=l'2- (3-70)
Нужно удовлетворить следующему граничному условию у берега:
(3.71)
В точке разрыва глубины х = 0 граничные условия будут:
Ct = C2 (3.72)
Решением уравнения (3.59) будет ? (х, у, t) = Ae1 ^шу-°1\ где /2 + т2 = o2lgh. Действительная часть ? (с действительными о, т и /) описывает простые гармонические волны длиной X —
= 2яу/2 + га2 с периодом т=2я/а, которые распространяются вдоль прямых, составляющих с осью OX угол ф:
ср = arcsin
У?2 -j- т2
(не путать угол ф с коширотой!). Для определенности Саммер-филд принял значения а, т и / положительными. Волны распространяются со скоростью с (такой же, как у длинных волн на мелкой воде):
c = ^ = ygh .
125
Следуя Лонге-Хиггинсу [361], Саммерфилд записывает решение для волн, захваченных на шельфе, как действительную часть выражения
~1гХ при X >0. (3.74)
Параметры /і и /г определяются соотношениями:
/2_ о2 2 ,2_ 2 а2
г'гй—111 ¦ І2 = т ~~w (3J5)
Параметры 7 и R можно выразить через другие переменные с помощью граничных условий (3.71) — (3.73):
T = a^g(lT7r). (3-76)
tg(a/i) = -^. (3.78)
Если параметры а, т, /і н I2 действительные, то
*L<JafL<i. (3.79)
Теперь, не уменьшая общности, можно предположить, что параметры а, т и / положительны. Тогда шельфовая волна представится выражением
C = i4/?e,(/lX+T+wy—°. (3.80)
Она распространяется в океан, достигая края шельфа под углом
падения aresin т У gh\/o. Критическое значение угла падения
для данного перепада глубин будет фс = arcsin ^hJh2. При Ф = фс на краю шельфа происходит полное внутреннее отражение и отраженная волна, идущая к берегу, представится выражением
C = Л/?^ (~^-Т + тУ-аО (381>
Эта волна отражается от берега, затем снова от края шельфа. Таким образом, движение, соответствующее выражению (3.74) > из-за этих последовательных отражений по существу удерживается на шельфе, в океане же, т. е. при /2>0, остается лишь экспоненциально затухающее движение.
126
Лонге-Хиггинс [361] предположил, что частотное уравнение, такое же, как уравнение (3.78), можно получить, приравнивая полное изменение фазы волны при прямом и обратном движении на шельфе по нормали к берегу при неизменных у и t некоторому интегралу, кратному 2п. Для волнового движения вида (3.80) это полное изменение фазы, вызванное внутренним отражением на шельфе, есть —2у. Этот способ, подробно описанный Бадденом [98], Саммерфилд применил для вывода частотного уравнения захваченных длинных волн на простом океанском хребте. Подробнее см. Саммерфилд [605, приложение 1].
С помощью соотношения (3.75) Саммерфилд переписал уравнение (3.78) следующим образом:
T {Ix) = E {Ix),
где
T{l)^lxtg{alx) (3.82)
На рис. 3.8 изображены функции E {Ix) и T {Ix). Для любых значений а и т, не равных нулю, на шельфе шириной а существует дискретное, но конечное число захваченных мод с вдоль-береговым волновым числом т.
Если корень Ix уравнения (3.82) лежит в пределах
^</і<(у+4)-іь' z=0-1-2-3..... (3-83)
то полностью захваченная волна соответствует /-й моде Саммер-филда. Условие ее существования есть
a>ah
a j г — J% (3.84)
m2
{аі называют срезающей шириной шельфа для /-й моды). Поскольку cos {IxX+у) имеет / нулей на промежутке —а<х<0, то /-я мода имеет / неподвижных узловых линий, параллельных берегу.
Влияние сужения шельфа {a ->•O) на /-ю моду можно отчасти видеть на рис. 3.8. Если значения m, hx и A2 фиксированы, то величина а/ остается неизменной и функция E {Ix) будет фиксированной кривой. По мере уменьшения значения а асимптоты
л _ Зя 5я _ ., ч
± ——г ±-z—, ±-5— и т. д. кривых / {Ix) удаляются от ли-
ний /і=0. Отсюда можно заключить, что при уменьшении
127
значений а от оо до a,j величина 1ц монотонно возрастает от О до У(h2/hі — 1)т2. Однако одновременно монотонно возрастает от m^gh\ до m^gh2 и значение Oj [см. уравнение (3.75)]. Сам-мерфилд [605, табл. 4.1] прослеживает изменения других параметров.
Рис. 3.8. График функций T (Ix) =/i tg Ix и E(Ix)--=
HM*-1)"-«}]"-
Обе они симметричны относительно оси /і=0. E(Ix) пересекает оси в точках [65]
мм* {(*-•)«¦}"¦]) * о«|(? -')"¦¦<>]•
Если а<а/, то волна, заданная равенством (3.80), будет подходить к краю шельфа под углом, меньшим, чем угол ф, преломляться и покидать шельф, уходя в океан. И поскольку не существует притока энергии извне, движение на шельфе затухает со временем, а о/ является комплексной.
