Моделирование в картографии - Тикунов В.C.
ISBN 5-211-03346-9
Скачать (прямая ссылка):
Из таблицы видно, что система один раз перешла из состояния Q1 в Q1, три раза — из Q1 в Q2 и т.д., а четвертый столбец свидетельствует, что четыре раза система переходила из Q1 в Q1 или Q2 и три раза — из Q2 в Q1 или Q2. Далее несложно вычислить матрицу вероятностей переходов. Для этого каждый элемент строк первых двух колонок делится на величины соответствующей строки последней колонки. В итоге получаем
P =
0,25 0,76
0,75 0,33
Получив матрицу переходных вероятностей Р, можно приступить к вычислению прогнозных величин явления на определенное число
188
шагов — га. Заметим, что алгоритм вычисления прогнозных зна-
чений может иметь детерминированный или стохастический характер. В детерминированном случае на основе уравнения (4.30) находится величина р (т), позволяющая определить математическое ожидание прогнозируемой величины. При стохастическом подходе, используя значения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0, 1 ], на каждом шаге разыгрывается состояние, в которое переходит система, что повторяется т раз для каждого из этапов.
В нашем эксперименте требовалось вычислить прогнозные значения людности городов, для чего использовался следующий вариант алгоритма. Убедившись, что процесс обладает марковским свойством и однороден, можно, используя временной ряд людности населения какого-либо города, вычислить матрицу переходных вероятностей. Это позволяет вычислить прогнозную величину. В математическом выражении процедура заключается в следующих действиях. Пусть xt — численность населения города в г-й год. Образуем ряд у{, у2, Уз, ytv где уг- вычисляется по формулам
где п — длина временного ряда людности городов.
Далее выбирается шкала прироста населения. Под ней понимается набор непересекающихся интервалов, причем учитывается, чтобы в каждый из них попадало по крайней мере одно из значений yt. Пусть таких интервалов будет L Используя данную шкалу и ряд }>l, 3>2> %> Ую построим следующий ряд: Z1, z2, z3,zn, где zt — номер интервала шкалы, в который попадает yt. После этого вычисляем матрицу переходных вероятностей. Ее р/у- элементы (г, j = = 1, 2, 3, D вычисляются следующим образом. Сначала находятся числа fip равные числу переходов от г к у в ряде Z1, z2, z3, zn.
Затем подсчитываются суммы Д. в каждой строке, т.е. a)t = ^ /^•,
'?+ 1
г = 1,2,3
(4.24)
X;
1=1
г — 1, 2, 3, ..
/, и уже затем вычисляются ptf
О): •
(4.25)
Вычисление прогнозной величины производится следующим образом. Находится номер интервала, которому принадлежит величи
189
Рис. 49. Прогнозные карты людности крупнейших городов и плотности населения по областям Украины: А — фактические данные за 1961 г.; В — фактические данные за
на, равная единице (так как полагалось, что в начальный момент относительный прирост населения равен единице). Пусть этот номер равен]\ Образовав векторр (0) = (0,0, 1, 0,0), где на/-м месте стоит единица, а на остальных нули, необходимо умножить его на P = [P1J] в степени т и получить вектор р (га). На основании р (т) вычисляется математическое ожидание величины относительного прироста численности населения данного города на m-й год. Оно находится по формуле
?«-2 ft(4-26)
190
1979 г.; С — прогнозные данные, полученные с помощью цепей Маркова, на 1985 г.; D — прогнозные данные, полученные с помощью регрессии, на 1985 г.
где ??- — середина, соответствующих интервалов шкалы прироста населения. Перемножив произведения (^1 • ?2 " ?з * * ?т) на абсолютную численность населения в начальный момент времени, получаем прогнозную величину на m-тый год. Понятно, что для каждого города надо вычислять соответствующую матрицу P и на ее основе моделировать изменения в людности городов. Программы, позволяющие производить необходимые вычисления на ЭВМ, можно найти в ряде работ, например Дж. Харбуха и Г. Бонэм-Картера (1974).
Нами использовался алгоритм построения цепи Маркова с населением более 100 тыс. жителей по данным за 1961-1979 гг. (Сер
191
бенюк, Тикунов, 1980). Достаточно длинный временной рад в 19 лет позволил дать прогноз по 33 городам, имевшим более 100 тыс. населения в 1961 г., на каждый год, начиная с 1980 и до 1985 г. Для того чтобы с максимальной точностью отобразить на карте как фактическое состояние, так и прогноз, использовался растровый способ (Ширяев, 1968) для их картографирования.
Кроме того, за те же годы по аналогичному алгоритму дан прогноз плотности населения по всем 25 областям Украины. Чтобы в пределах графической точности без ступеней закартографировать данный показатель, имеющий площадное распространение, применялось следующее правило. Расстояния между линиями штриховок рассчитывались для каждой области пропорционально величинам плотности населения. Соответствующие карты на начальный (1961) и конечный (1979) годы базового для исследования периода приведены на рис. 49, А я В. Прогнозная карта на 1985 г. изображена на рис 49, С. Хорошая аппроксимация фактических данных вычисленными уравнениями позволила получить кондиционный прогноз. Ошибка не превышает 6-8 %.
