Моделирование в картографии - Тикунов В.C.
ISBN 5-211-03346-9
Скачать (прямая ссылка):
?u(xy,t)=ddu(xy,t) +
dt дх v J ' дх
+ jj 0 (*> * 0 ^ (У t] + / (*> Л 0. (4.12)
(х, у) G g, t> t0,
где g — территория моделирования; х, у — прямоугольные координаты в области g; t§ — начальный момент моделирования; и (х, у, t) — численность информаторов; с (х, у, t) — коэффициент диффузии; / (х, у, t) — функция, характеризующая кривую роста численности информаторов. Здесь (х, у) — координаты элементарной ячейки, где определены и (х, у, t), с (х, у, t) и /(х, у, t), a t > t0 соответствующий момент времени.
Начальные и граничные условия задачи имеют следующий вид:
и (х, у, t{
0)
= щ (х, у),
? (4 13)
на g к*л*}
ди (х, у, t) дп
"° 5 (4.14)
на д#
182
где и (х, у, t)y х, у, t, *0, g определены выше, dg — граница области g, — производная по нормали функции и (х, у, t) в точке границы с
координатами (х, у) и в момент времени t, щ (х, у) — функция распределения информаторов по территории в начальный момент времени %.
Дадим аналитическое определение с (х, у, и / (х, у, Пусть
z (х, у) есть численность населения в элементарной ячейке с центром в (х, у). Если I = max z (х, у), то положим
c(x,y,*0) = z(x,y)/z. (4 Л 5)
с(х,у, 0 при/0</<^,
(z (х, у) - и (х, у, 0)/1 при^</</2, (4Л6)
О при ? > t2.
Определим с (х, у, для следующим образом: с (х, у, 0 =
При тех же предположениях / (х, у, Jf) вычисляется по формуле
|0 при *0 < t< Ц и при * > *2,
/ (х, у, Г) - j z ^ у)/г ^ у) при h<t< ^ ;)
Также полагалось, что т (х, у) « Vz (х, у), а именно г (х, у) =
Vz (х, у) „
—N_ 7 , где T0 — время освоения нововведением всего населения элементарной ячейки с максимальной ее численностью.
Таким образом, процесс пространственного распространения "нововведений" оказывается формализованным в виде задачи, заключающейся в решении уравнения (4.12) с начальными (4.13) и граничными (4.14) условиями. Ввиду невозможности получения аналитического решения данная задача решалась численным методом. А именно приближенное ее решение искалось посредством применения соответствующей "разностной схемы". Подробное изложение такого подхода к решению дифференциальных уравнений в частных производных можно найти в (Дьяченко, 1977). При построении "разностной схемы" могут использоваться алгоритмы и программы, приведенные в книге (Харбух, Бонэм-Картер, 1974). Пример использования данной модели для территории Алтайского края приведен в работах (Петров, Тикунов, 1983, Тикунов, 19856).
Описанная методика расчетов может быть легко модифицирована в зависимости от содержательных особенностей географичес
183
ких явлений. В качестве другого примера, позволяющего проиллюстрировать изменчивость методики, обратимся к созданию карты транспортной доступности в изохронах (в изолиниях равных издержек и т.д.) (Петров, Тикунов, 1984).
Одним из условий моделирования "нововведений" являлось то, что средняя скорость ее диффузии неизбежно уменьшалась во времени из-за падения средней величины концентрации "информаторов", что не соответствует задаче определения изохрон доступности. Второе противоречие заключается в том, что в классической модели распространение диффузии зависит от неоднородностей ранее пройденных участков. В данном случае, при моделировании положения изохрон, каждая из них должна лишь определять начальную линию для диффузии, распространяющейся в зависимости от проходимости участков территории за каждый последующий промежуток времени. Для удовлетворения отмеченных ограничений моделирование следует проводить по следующему алгоритму. Пусть в начальный момент времени (?) все диффузирующее явление сконцентрировано в области g0 и имеет внутри нее постоянную концентрацию, равную v0, т.е.
U0 (х, у) =
V0 если (х, у) Gg0,
О, если (х, у) ? *0. <4Л5)
Решая задачу (4.21)-(4.23), без учета функции /(х, у, t), получаем для любого t{ = tQ + At значение и (х, у, ^1). Зная время ^1, можно определить область (^1) распространения явления, используя правило
(*, y)Ggv если и (х, у, Z1) >J7, (х, у) ? gv если и (х, у, ^1) < v.
где у < V0 и определяется заранее при постановке задачи. Естественно, что границу области можно считать требуемой изохроной доступности для момента времени ^1.
Далее определим с (х, у) и W1 (х, у)):
с (х, у) = с (х, у), если (*> У) ? #0
0, если (х, у) G g0 '
V0^ если (х, у) G
и (х, у, если (х, у) ? ^1.
(4.20)
184
AOOM
Рис. 48. Представление участка территории и результатов моделирования изохрон: Л — участок территории со значениями скоростей передвижения (км/ч); В, С, D — три варианта расчетов доступности территории из различных точек, отмеченных крестиком
Заменяя в уравнениях (4.21)-(4.23) с (х, у) на у), а щ (х, у) на U1 (х, у) и t0 на tx, при этом сохраняя значение v постоянным, можно получить требуемую изохрону в момент t2 = t± + А*. Повторяя описанные процедуры для *3, *4,tt = t{_ г + А*, определяем требуемые изохроны доступности.
Реализация рассмотренной методики моделирования проводилась нами для небольшого участка местности размером 0,5 х 0,6 км, изображенного на рис. 48, А. На данном участке были определены выделы с примерно одинаковой возможной скоростью передвижения по ним (см. рис. 48, А). Далее весь участок был покрыт сетью из 2009 квадратов (49 столбцов и 41 строка), характеризуемых возможной скоростью перемещения внутри них, и задан квадрат начала диффузии (на рис. 48, 2?, С, D — отмечен крестиками) .
