Моделирование в картографии - Тикунов В.C.
ISBN 5-211-03346-9
Скачать (прямая ссылка):
185
Таким образом, все исходные характеристики — с (х, у), и0 (х, у), необходимые для моделирования, могут быть представлены в виде матриц {сф и где i и /соответственно количество столбцов и строк матриц. При реализации задачи элементы матрицы {ufy брались равными нулю, кроме элемента, соответствующего квадрату начала диффузии и равного v0. Элементы {сф, соответствующие скоростям передвижения в процессе моделирования, использовались в нормированном виде. Нормировка осуществлялась путем деления фактических величин скорости в каждом элементарном квадрате на максимально возможную для данного участка ее величину, т.е. 0< ctj < 1. Для всех вариантов моделирования (рис. 48, В, С, D) были взяты следующие параметры: v0 = 100; V1 = 10; i = 1, 2, 3,49; /=1,2,3,...,41. Изохроны
проведены через 10 с.
Простота реализации описанной методики позволяет многократное экспериментирование с целью оценки различных возможных вариантов транспортной доступности при изменениях транспортных сетей, прокладке новых путей сообщения и т.д. Использование разновидностей методики может дать не противоречащие географической логике результаты, но в каждом конкретном случае необходимо постоянно следить за соответствием модели характеру явлений, таких, как распространение лесных пожаров, диффузия загрязнения в неоднородных средах, доступность регионов, "расползание" в пространстве некоторых видов эпизоотии и др.
IV.2. МОДЕЛИ ДИНАМИКИ СОДЕРЖАТЕЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ЯВЛЕНИЙ
IV.2.1. Марковские модели динамики содержательного развития явлений
Модели динамики содержательного развития явлений связаны с решением важных и весьма насущных задач, прежде всего прогноза, например роста населения городов, объемов промышленного производства и т.д. При некоторых видах прогнозов достаточно хорошие результаты дают модели, основанные на цепях Маркова (Харвей, 1971; Лютый, 1974; Харбух, Бонэм-Картер, 1974; Сербенюк, Тикунов, 1980; Maccheroni, 1971; Varraso, 1981; и др.). Для того чтобы говорить об использовании данного метода для прогнозирования гео
186
графических явлений, необходимо хотя бы вкратце остановиться
на основных понятиях о цепях Маркова.
Рассмотрим некоторую систему, которая в любой момент времени (время меняется дискретно) находится в одном из состояний ?l, 02' оз> •••» Qw Эти состояния образуют полную и несовместную систему, т.е. они исчерпывают все из возможных состояний системы, которая в фиксированный момент времени находится только в одном из них. Вероятность ptj (?) того, что в момент времени
tk система перейдет в состояние Qj из состояния (?, в котором она
находилась в момент ^1, не зависит от того, в каких состояниях
система находилась в предыдущие моменты времени. Последнее положение называется марковским свойством системы. Вероятности перехода рц (tk) в своей совокупности образуют матрицу P^, причем
в каждом ее столбце имеется хотя бы один отличный от нуля элемент. При этом вероятности перехода удовлетворяют в любой момент времени tk соотношению
п
E PiJ Vk) = 1* I = 1,2,3,...,л, (4.21)
/=1
где п — количество состояний системы.
Таким образом, процесс изменения состояний системы во времени, удовлетворяющий перечисленным свойствам, называется цепью Маркова. Цепь Маркова будет неприводимой, если каждое состояние системы достижимо из любого другого состояния. Цепь Маркова называется однородной, если вероятность перехода рц (?) не зависит от tk, т.е. pij (?) = pij (z, j = 1, 2, 3, ..,,ли любого tk).
Вектор-строка р (т) = [рх (m), р2 (т)> р3 (/п),...,Pn (т)] абсолютных вероятностей того, что в момент времени tm система перейдет соответственно в состояние Q1 Q2, Q3,Qm, определяется формулой
p(m)=p(0) • Р, • ... • Pf , (4.22)
а для однородной цепи —
р (т) = р (0) • Pw, (4.23)
где P = [pij] , а р (0) — начальная строка абсолютных вероятностей. Подробнее о цепях Маркова можно прочесть в работах (Романов
187
ский, 1949; Хорафас, 1967; Венцель, 1969; Смирнов, Дунин-Бар-ковский, 1969; и др.).
Следует обратить внимание, что не всякий географический процесс может моделироваться с помощью цепей Маркова. Прежде всего, вычислив матрицу вероятностей переходов, следует убедиться, обладает ли исследуемый процесс марковским свойством, а также проверить, является ли данный процесс однородным. Подробно критерии проверок на марковское свойство и однородность изложены в работах (Харбух, Бонэм-Картер, 1974; Anderson, Goodman, 1957).
Для иллюстрации процесса моделирования, предполагая, что процесс однороден, и фиксируя в каждый текущий момент времени номер состояния системы, можно путем элементарных арифметических операций показать этапы вычисления искомой матрицы вероятностей переходов. Пусть система имеет возможность находиться в состояниях Q1 и Q2. Также допустим, что в течение семи последовательных моментов времени система имела следующие состояния: Q1, Q1, Q2, Q1, Q2, Q2, Q1, Q2. Данный ряд позволяет построить следующую таблицу:
(X) (XX) 1 2 (ххх) 1 1 3 4 2 2 1 3 где (х) — номер послепереходного состояния системы; (хх) — номер предпереходного состояния; (ххх) — количество раз, когда система находилась в предпереходный момент времени в соответствующем состоянии.
