Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> География (физ) -> Тикунов В.C. -> "Моделирование в картографии" -> 63

Моделирование в картографии - Тикунов В.C.

Тикунов В.C. Моделирование в картографии: Учебник — M.: Изд-во МГУ, 1997. — 405 c.
ISBN 5-211-03346-9
Скачать (прямая ссылка): modelirov_kart.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 129 >> Следующая

IV.2.2. Регрессионные модели содержательного развития явлений
Регрессионные модели для целей прогнозирования развития географических явлений используются значительно чаще (Победоносцева, 1973, 1974; Сербенюк, Жуков, 1973; Червяков, Михайлов, Лайкин, 1974; Сербенюк, Тикунов, 198Г, Березнер, 1982; и др.). В этом случае задача состоит в экстраполяции, т.е. в нахождении функции у при значении аргумента х, лежащего вне исследуемого интервала U1 + Xn). Это позволяет распространить выявленные закономерности изучаемого ряда за его пределы, иными словами, прогнозировать будущее развитие данного явления. Задачи с использованием регрессионных моделей могут решаться с различной степенью точности. Наиболее приближенно — вычисление самой простой формы регрессии — линейной. Пусть у — случайная величина, распределение которой зависит от некоторой независимой переменной х. В результате наблюдений, измерений и т.д. определяется п пар значений: O1, ух), (х2,у2), (х3,у3), (хю Уп).
Соотношение линейной регрессии между у и х можно записать как
У = OQ + Cl1X + V, (4.27)
192

где v — остаток, характеризующий величину отклонения линии регрессии от истинных значений функции х (у). Линия регрессии, уравнение которой имеет вид у = O0 + ^1X, может достаточно
хорошо аппроксимировать фактические значения. Но во многих случаях линейная функция недостаточна в силу слишком значительных отклонений вычисленных ординат от заданных значений у. Тогда предполагается, что зависимость фактических показателей выражается многочленом второй степени, а линия регрессии будет параболой. При необходимости дальнейших уточнений используются регрессионные уравнения более высоких степеней, которые в общем виде можно представить многочленом степени га:
у = O0 + U1X + а2х2 + ... + атхт + v. (4.28)
Для того чтобы остаток v был бы, по возможности, малым, обычно используется способ наименьших квадратов, позволяющий находить такие значения коэффициентов а0, ах, а2,ат при кото-
п
рых величина ^v-= min.
Z=I
Подставляя в полином соответствующие заданные значения X1 и у/5 получаем систему уравнений вида
УI = CLQ + (ZiX1 + CL2Xi + ... + Я^Х™
у2 = а0 + ахх2 + а2х\ + ... + amxf
Уз = O0 + ^1X3 + а2х\ + ... + атх$ (4.29)
Уп = + *l*n + <*2*5 + — + атхп •
Полагая, что число данных уравнений больше числа искомых коэффициентов, т.е. п>т + 1, приходим к случаю избыточной системы, решаемой по способу наименьших квадратов. В матричном изображении систему (4.29) можно представить как
(4.30)
1 Xi X1 Xx ... хх O0 ух
1 X2 х\ х\ ... Xf CL1 У2
1 X3 X^ X^ ... Xf X = Уз
1 х„ х? х? .. . jcJ1 а™ У/г
13 Тикунов.
193

или в сокращенном виде
NA - Y,
(4.31)
где N — матрица (п X т + 1), состоящая из коэффициентов системы параметрических уравнений (4.29); А — вектор-столбец неизвестных коэффициентов полинома (Ci0, ах, а2, ат); Y — вектор-столбец свободных членов. Согласно принципу наименьших квадратов искомое решение находится из нормальной системы уравнений
N'NA = N7Y или А = (N'N)"1 N7Y. (4.32)
Решение системы уравнений (4.32) позволяет определить значения коэффициентов полинома O0, ах, а2,ат.
Заметим лишь, что для прикладных целей нередко целесообразно не назначать предварительно степень полинома, а искать для у аналитическое полиномиальное выражение в процессе последовательных приближений. Вначале можно исходить из линейной функции у = O0 + ахх, затем, если окажется нужным, перейти к функции у = O0 + ахх 4- а2х2 и т.д. до тех пор, пока вследствие малости квадратов остающихся отклонений полином не станет удовлетворять по точности решению поставленной задачи.
На основе временных рядов людности городов и плотности населения Украины рассчитывалось семь вариантов прогноза, при аппроксимации рядов полиномами, начиная с первой и заканчивая седьмой степенью. Чтобы для каждого ряда подобрать наиболее подходящую степень полинома, были проведены дополнительные расчеты. Временные ряды всех городов и областей были укорочены на шесть лет (до 1973 г.) и затем экстраполированы на шесть лет вперед при использовании полиномов с первой по седьмую степень. Сравнение вычисленных и фактических значений за период с 1973 по 1979 г. позволяет выбрать наилучшую для прогноза степень полинома для каждого города и области.
Оказывается, что в большинстве случаев наилучший прогноз получается при использовании полиномов первой или второй степени, реже третьей и четвертой степеней, что, видимо, связано с большой плавностью изменения значений людности от года к году. Ошибка прогноза не превышает 5-7%. Полиномы высоких степеней значи-
Ряды укорачивались на шесть лет, так как прогноз давался также на шесть лет вперед (до 1985 г.).
194

тельно увеличивают ошибку прогноза. Выбрав, таким образом, наилучшую степень полинома для каждого города и области и предполагая, что она окажется наиболее приемлемой и для прогнозного периода, вычисляются соответствующие прогнозные величины на 1985 г. В настоящее время, когда сделанный прогноз уже легко проверяется по фактическим значениям людности, можно утверждать, что сделанное предположение оказалось верным, а ошибка прогноза соизмерима с результатом, полученным при использовании цепей Маркова. Картографирование спрогнозированных данных позволяет создать соответствующую карту (рис. 49, D).
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed