Моделирование в картографии - Тикунов В.C.
ISBN 5-211-03346-9
Скачать (прямая ссылка):
единице. Величина XV] подчиняется условию
Xij dS = 1. Двой-
ной интеграл обозначает суммирование для всех элементов территории в пределах z-й и J-й территориальных единиц.
Уравнение (4.1) описывает процесс перехода из состояния А в состояние Ву уравнение (4.2) — из состояния В в состояние С, уравнение (4.3) отображает процесс удаления. Аналогичные построения, как правило, лежат и в основе других моделей развития эпидемий или других подобных им явлений. У Н. Бейли (1970) приведена модель пространственного распространения эпидемий в пред-положении> что территория является однородной и изотропной в смысле влияния на величину скорости и направления распространения фронта эпидемии. Для этой модели найдено аналитическое решение. Р. Камерон (Cameron, 1975) и ряд других авторов изучали распространение научных и социальных идей и представлений, также опираясь на системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с целью формализовать процессы переходов населения из одной группы в другую, аналогично группам А, В и С.
Одной из трудностей, возникающих при использовании перечисленных моделей, является получение численных результатов. Аналитическое решение удается получить только для очень простых моделей и при разбиении рассматриваемых территорий на малое число территориальных единиц. С ростом сложности моделей
171
и количества территориальных единиц получение достоверных численных решений становится практически малореальным. Математический аппарат, используемый при построении моделей, в целом позволяет получать неплохие результаты. Однако этот аппарат не представляет возможности в полной мере учитывать территориальные аспекты задачи.
В то же время в работах Т. Хегерстранда (H?gerstrand, 1965; и др.) для получения близких по смыслу моделей распространения нововведений используется несколько иной математический аппарат. А именно стохастическое моделирование, основанное на методе Монте-Карло. Н. Бейли, рассматривая перспективы моделирования эпидемий, также предлагает применять метод Монте-Карло, но со следующей оговоркой — "анализ их (стохастических моделей) сопряжен с огромными трудностями, во всяком случае если его проводить чисто математическим путем" (Бейли, 1970, с. 230).
Учитывая состояние проблемы и используя некоторые идеи Т. Хегерстранда, мы сосредоточили свое внимание на пространственном аспекте распространения явлений и анализе получаемых результатов с географических позиций. Моделирование процесса переходов населения в территориальных единицах из одной группы населения в другую (имеются в виду группы Л, В ж С), учитывая положительные результаты, полученные рядом авторов, работавшим в этом направлении, нами не рассматривалось, и процесс трактовался в упрощенном виде. Система условий, используемая при построении данной модели, имеет следующий вид.
1. Территория, для которой производится моделирование, разбивается на п равных территориальных единиц. Каждой у-й территориальной единице соответствует пара чисел х-р у-р которые являются
координатами ее центра в некоторой прямоугольной системе координат.
2. Для каждой /-й территориальной единицы задается численность населения в ней — dj.
3. Каждая территориальная единица может находиться в одном из трех состояний: I. Данная единица охвачена эпидемией (т.е. все ее население относится к группе В); II. Эпидемия в территориальной единице закончилась (ее население выбыло из процесса распространения инфекции и целиком относится к группе С); HL Эпидемия в данной единице еще не началась (т.е. ее население целиком относится к группе А). В начальный момент моделирования по крайней мере одна территориальная единица должна быть в состоянии I.
172
4. Состояния всех территориальных единиц могут меняться только через дискретные промежутки времени. Причем разность между двумя любыми последовательными моментами времени Ц и ^+1
постоянна.
5. Если в некоторый момент времени tt в /-й территориальной единице начинается эпидемия, то считается, что все ее население заболевает, т.е. переходит в группу В, а сама единица соответственно переходит из состояния III в состояние I. Естественно ожидать, что через некоторое время Д*. территориальная единица перейдет из состояния I в состояние II, и тогда ее население не будет оказывать влияния на последующее распространение эпидемии, т.е. целиком перейдет в группу С. Промежуток времени Atj для данной у-й территориальной единицы в первом приближении будем считать пропорциональным численности жителей в ней, т.е.
M1 = К • dj, (4.5)
где К — некоторая постоянная величина для всего региона. Если положить, что H — средняя численность населения всех территориальных единиц, а At — время продолжительности эпидемии в территориальной единице, которая имела бы численность населения 3, то тогда
А - 3 * (4.6)
6. Вероятность возникновения эпидемии в момент времени tt в
у-й территориальной единице считается большей нуля только в случае, если в момент времени Ц _ А она находилась в состоянии III согласно п. 3; в противном случае вероятность считается равной нулю. Искомая вероятность ру пропорциональна сумме вида
