Нестационарный теплообмен - Кошкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
изотермическому начальному условию, т. е.
5 Заказ 802
Q(Z) = 0.
81
Начальные и граничные условия примут вид T*(R, 0) = 0;
= Q.(z);
T'(R,Z, 0) = 0; j (4-5)
T'{R, 0, Fo) = 0;
dT'(}-' Z: F°L = Q'(Z, Fo), dR )
где безразмерный тепловой поток
Q'(Z, Fo) =Q(Z, Fo)-Q*(Z).
Безразмерная температура стенки
TW{Z, Fo) = T(l, Z, Fo), (4.6)
а среднекалориметрическая температура потока
Tb(Z, Fo) = 2 j Rg(R)T(R, Z, Fo)dR; (4.7)'
где
g(R)= — -
W
Стационарное решение имеет вид T*(R, Z)-Tl(Z) = 2 p*(#, 0)^g^--/*(/?,
(4.8)
где
oo
У*(Я, Z) = (—1)* V (4.9)
C« = JTfrI;
Nr^n
— собственная функция, собственное значение и соответствующий нормализующий множитель задачи типа Штурма — Лиу-вилля. При Z oo Jk(R, Z) ->0, поэтому вторые члены в квадратных скобках в уравнении (4.8) становятся пренебрежимо малыми для участков канала, достаточно удаленных от входа. В этом случае поле температур определяется зависимостью теплового потока от Z вблизи рассматриваемого сечения,
82
При расчете T'(R, Z, Fo) скорость потока принимают постоянной по сечению и равной среднерасходной, т. е. wz — w или
g(R) = l.
Решение имеет вид
1) при Z0 = Z—Fo>-0
T(R, Z, Fo) — Tb(Z, Fo) = ^
*=o
X
dkQ'(Z, Fo)
J*(R, 0) x
dkQ'(Z0, 0)
d Fo*
2) при Foo = Fo — Z ^ 0
T'(R, Z, Fo) — Tb(Z, Fo)
d Fo*
(4.10)
?=0
J'k(R, 0) x
x
d*Q'(Z, Fo)
¦Jk(R, Z)
здесь /' = Jh при g(R)
dkQ'
d Fo*
Например, при k =
d2Q'
dkQ'(0, Fo) d Fo* Л' d Fo*
1, а полная производная
^k^)kv=Dkv-
(4.11)
(4.12)
1, 2
dQ' d Fo d2Q'
dQ' dQ'
d Fo dZ
d2Q'
+ 2
+
d2Q'
d Fo2 d Fo2 dFodZ dZ2 Для получения общего решения сложением уравнений (4.8) и (4.10) или (4.11) скорость принимают постоянной [?(Л?) = 1] и для стационарного решения, т. е. предполагают Jk = /&. Для достаточно больших Fo вторые члены в квадратных скобках в правой части уравнения (4.10) становятся пренебрежимо малыми. Аналогично при достаточно больших расстояниях от входа Z становятся малыми вторые члены в уравнении (4.11). Поэтому при больших Z и Fo решения (4.10) и (4.11) совпадают, и общее решение принимает вид
оо
T(R, Z, Fo) — Tb(Z, Fo) = V Jk(R, 0)DkQ{Z, Fo). (4.13)
6=0
Затем по формулам (4.6) и (4.7) вычисляют температуры стенки и среднекалориметрическую температуру потока, а также коэффициент теплоотдачи. Окончательное выражение принимает вид
4{г’ Т) --tw(z,r) — tb(z, т) =
а (2, т)
?(г, т) а0(г,т) ‘ 2л
+ -jr^RkDkq(z, х),
(4.14)
k=\
83
где ао — квазистационарное значение коэффициента теплоотдачи при q — const по длине и по времени; X — теплопроводность жидкости; Rk = Jh(R, Z) при R = 1 и Z = 0; Я, — наименьшее ненулевое собственное значение задачи Штурма — Лиувилля, для k = 1
+ i_/jL + _L._?LV (4.15а)
dZ дFo р \ дг w дх )
для k = 2
ДЛЯ k = 3
?)* = а2? д2д __
" dZ2 Fo d Fo2
J!i_+A._i!i_ + _L.±2_V (4.156)
P J \ dz2 w dzdx w2 dx2 j
d3q о d3q , d3q _
Okq = —t- _)_ 3
dZ3 dZ2d Fo dZd Fo2 d Fo3
.V(J!!_ + ±'J4_+±_*4_ + _L.(4.15b)
/ \ dz3 су dz2dx w2 dzdx2 w3 dx3 J
здесь p = -^-. Значения p, /?i, Я2, Яз для различных Re и Pr'
Pe
представлены в табл. 4.1, где Ri и /?3 отрицательны, R2 положительны.
Таблица 4.1
Значения коэффициентов для оценки нестационарного коэффициента теплоотдачи в трубе по стержневой модели [157]
Re Рг (5 -Ri я2 Яз
0,00316 1,942 0,164 « 0,149 0,145
104 0,01 0,727 0,146 0,131 0,128
0,0316 0,343 ОЛЮ 0,978 0,949
1,0 0,166 0,0104 0,00900 0,00862
0,00316 0,706 0,147 0,133 0,130
3,16-Ю4 0,01 0,319 0,113 0,102 0,0992
0,0316 0,195 0,0674 0,0602 0,0583
1,0 0,138 0,00368 0,00327 0,00315
0,00316 0,302 0,117 0,106 0,103
105 0,01 0,178 0,0722 0,0648 0,0628
0,0316 0,138 0,0334 0,0299 0,0289
1,0 0,119 0,00135 0,00120 0,00116
0,00316 0,165 0,0764 0,0680 0,0668
3,16- ю5 0,01 0,124 0,0364 0,0326 0,0316
0,0316 0,112 0,0138 0,0124 0,0120
1,0 0,106 0,000482 0,000432 0,000417
0,00316 0,114 0,0392 0,0352 0,0341
10б 0,01 0,101 0,0151 0,0736 0,0131
0,0316 0,0968 0,00516 0,00463 0,00448
1,0 0,0949 0,000169 0,000152 0,000147
84
С увеличением k значения членов суммы в уравнении (4.14) быстро уменьшаются, поэтому в практических расчетах достаточно ограничиться одним-двумя членами
JL = ^_ + J^('_*L+_L._?lA + ... (4.14а)
а0 2Хр \ дг w дх
Из уравнения (4.14а) можно получить выражение для отношения нестационарного коэффициента теплоотдачи к его квазистационарному значению
к = — = -------------1-------------- (4.16)
а0 Nu0 dRiNuo ( dq 1 dq 4
1 +•
2$q \ dz w dx
или
l
i?iNu0 1
+ (4,16a)
где Nu0 — квазистационарное значение числа Nu;
Kqz=-~-— —безразмерный критерий, характеризующий
изменение теплового потока по длине канала;
Kqx = ——------безразмерный критерий, характеризующий
дх qa
изменение теплового потока во времени; а — коэффициент температуропроводности.
Согласно формуле (4.16) на отклонение нестационарного коэффициента теплоотдачи от квазистационарного значения
наряду с изменением теплового потока во времени существенно влияет его изменение по длине канала, причем это влияние особенно существенно при больших скоростях движения теплоносителя, характерных для газов. В нестационарных условиях изменение теплового потока во времени обычно сопровождается его изменением по длине, и при сравнении нестационарной теплоотдачи с квазистационарной необходимо учитывать dq/dz в нестационарных условиях.
