Нестационарный теплообмен - Кошкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
где Y =— (б — толщина пластины).
б
В качестве начального условия используют распределение температуры в конце предыдущего интервала. Значения Twi и qWi вычисляют по следующим формулам:
Ча,т -у =----1— (Тн т~ 2 ^ -f АРоЛ (3 ¦-26)
AFom —— V ft-i “ /
О
Twm = qwm — + у) + 2 AF°^' (3*27)
Недостатком этого метода является ограничение интервала условием AFo * > 0,5 даже при очень малых Fo*, преимуществом — отсутствие требования равенства интервалов времени между собой. На первых интервалах Tw и qw определяют с большой погрешностью, для уменьшения которой необходимо AFoi » Fo*.
4. Е. В. Кудрявцев, К. Н. Чакалев, Н. В. Шумаков [36] предложили также метод средней температуры для косвенного определения Tw и qw. Авторы показали, что начиная с некоторого момента, когда становятся пренебрежимо малыми экспоненциальные члены в точных решениях задачи теплопроводности, в телах простой формы имеется геометрическое место точек, температура которых в каждый момент времени приближенно рав-
69
на среднеобъемной температуре тела. В частности, для бесконечной плоской пластины с теплоизолированной поверхностью У = 0 и с теплообменом на поверхности У = 1 таким геометри-
V з
ческим местом является плоскость =-----------. Зная изменение
3
во времени температуры в точке У*, можно в любой момент времени Fo > Fo* определить тепловой поток на поверхности теплообмена по формуле
?,(Fo) = j. -(?-~0)-- (3-28)
о a Fo
Далее полученную функцию ^(Fo) используют в качестве граничного условия второго рода, и ^(Fo) находят из решения дифференциального уравнения теплопроводности с начальным и граничными условиями.
Метод средней температуры применим лишь с момента Fo* « 0,5, когда температуру в плоскости У* можно с достаточной точностью считать среднеобъемной. Для использования Цю(Fo) в качестве граничного условия необходимо экстраполировать зависимость, полученную из формулы (3.28), на интербал 0 < Fo < Fo*. В связи с этим точность определения ^(Fo) на начальном участке и еще на некотором отрезке времени Fo>Fo* низкая (пока сказывается экстраполированное граничное условие). Тем не менее этот метод имеет преимущество перед косвенными методами, оперирующими с температурой теплоизолированной поверхности в тех случаях, когда у последних методов Fo* > 0,5. Причина этого в том, что в точке У* заметное изменение температуры начинается гораздо раньше, чем в точке У = 0. Но методу средней температуры свойственен специфический недостаток: необходимо точно расположить термопары в плоскости У* (как показывают авторы метода, небольшое отклонение в размещении термопары может привести к значительной погрешности).
5. В методе, который предложил Спэрроу, Хаджи-Шейх и Ландгрен [156], используются преобразования Лапласа, с помощью которых получаются точные интегральные формулы, по которым производится численное определение Tw (для бесконечной пластины):
Fo j
rro(Fo) = — Z(Fo) + —dQ, (3.29) ' 2 4/я J (Fo —0)^ V ’
0
где Z(Fo) —неизвестная функция, определяемая в результате численного решения интегрального уравнения;
TH(Fo) —заданное изменение температуры теплоизолированной поверхности;
0 — переменная интегрирования;
70
Fo
r„(Fo)
2/л J (Fo—0)3/2
0
___ O, T?FCH^i
e 4 (Fo 0) de
(З.ао)
с начальным условием Z(0) = 0.
qw находят из решения прямой задачи с граничными условиями 1-го рода.
Численное решение уравнения (3.30) облегчается тем, чт интеграл
Fo
I
1
(Fo — Q)'*
е 4(Fo-Q)dQ
подстановкой t2
1
сводится к интегралу верой11
4 (Fo— Й) сти Ф(/).
Разбивая время на интервалы AFo и считая, что Z на каждом интервале постоянна и равна ее значению посредине интервала, получаем расчетные формулы:
r0(AFo) = z(-^- AFo) 1—Ф r0(2AFo) = Z (-i- AFo j Ф (-
1
2 /AFo 1
2 V AFo
— Ф
/==)] +Z( — 2/2AFo/ V 2
AFo
1 —Ф
2 V AFo
Анализ расчетных формул показывает, что данному мсюп свойственен как общий недостаток всех косвенных мето и>н определения Tw и qw [при AFo < Fo*, когда приборы не pci m i рируют изменение Гн, т. е. 7H(AFo) =0, из уравнения (Л.ЧП) следует Z(AFoi)=0, а из выражения (3.29) 7V(AF0|) п| так и недостаток шаговых методов — большая погрешность п.» первых интервалах, заставляющая выбирать AFoi Fo* (,пп i коэффициентом увеличения ошибки является
1
1 Ф V 2 /AFo /
а в методе Хилла —Цг)- По сравнению с методом последопп 1—0!
тельных интервалов этот метод выгоден лишь при очень мплыч Fo*. По сравнению с методом Хилла его преимущества пн нпи в необязательности деления всего отрезка времени im p;imiur
71
интервалы и в возможности учета неравномерного начального распределения температур при относительно небольшом усложнении расчетных формул. Но метод Спэрроу, Хаджи-Шейха и Ладгрена более трудоемкий по сравнению с предыдущими. Если же составить таблицы коэффициентов по формулам (3—31) для равных интервалов AFo, то трудоемкость уменьшится, но будут утеряны преимущества перед методом Хилла.
Следует отметить, что рассмотренные методы, хотя и выведены при условии постоянства физических свойств, применимы и тогда, когда X зависит от температуры, но изменение температуры по координате достаточно мало. В этом случае Я можно считать постоянной по координате и переменной по времени. Наиболее удобным для учета зависимости Я от времени является метод последовательных интервалов, так как он позволяет подставлять в каждом интервале нужные значения X. При использовании метода Хилла необходимо выбирать интервалы размерного времени таким образом, чтобы интервалы безразмерного времени были равны между собой. Метод Спэрроу, Хаджи-Шейха и Ландгрена в этом случае при равных интервалах AFo аналогичен методу Хилла, а при неравных — методу последовательных интервалов. При использовании метода неопределенных коэффициентов и метода средней техмпературы все время процесса надо разбить на такие интервалы, чтобы на каждом из них физические свойства можно было бы считать постоянными.
