Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 54

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 175 >> Следующая

4сД0 = -^сН0<%/^(^0^>^(?0/"^)/- (3-3.5)
Таким образом, вместо исходного уравнения (1) мы получим систему вообще говоря бесконечного числа уравнений с неизвестными функциями времени сА(*), являющуюся системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Можно попробовать решать эту систему итерационным путем, однако предварительно для сокращения записей введем дополнительные обозначения: как и ранее, У/А(*) = <ХРШ1 | Ч^>; ш/А = Е0[ - Е0к;
ш) = У1ке™1к*. Матричные элементы У1к{() и в общем
162
163
случае явно зависят от времени. В этих обозначениях система уравнений (20) имеет вид:
^с,(0 = -/^(^ш)сЛ(0 (/ = 1, 2, ...). (3.3.6)
Будем теперь считать, что сА(*) медленно меняются в зависимости от поэтому после включения возмущения в момент времени г0 за достаточно малый промежуток времени от *0 до (коэффициенты ск в правой части уравнения (6) постоянны, например ск = сА(*0). Тогда эту систему уравнений можно проинтегрировать:
где - постоянная интегрирования. При * = *0 это соотношение переходит в с^0)= так что в первом приближении
Если воспользоваться теперь этим выражением и вновь подставить его в правую часть уравнения (6), а затем проинтегрировать, то получим выражение для функций <;,(*) второго приближения:
с/(0вС/Ы-«'5сЛ(го)]уа(/',ш>//'

(3.3.8)
+ О)2 Xе* W/л'^(^^ш)JЛ'т^(/^ш>
Продолжая итерации далее, приходим к бесконечному ряду с членами того же типа, что и в уравнении (8), но со все увеличивающимся числом интегралов от *0 до і в каждом члене. Эта конструкция очень похожа на то, что было в теории возмущений для стационарных задач (т.е. в стационарной теории возмущений): если бы с самого начала перед оператором V в (6) мы поставили параметр X, то в разложении вида (8) первый член не зависел бы от X, т.е. это был бы коэффициент ак в соотношении (3), второй член зависел бы от X линейно, третий - квадратично и т.д. Другими словами, это было бы разложение коэффициента с^) в ряд по степеням X. Справедливость подобного разложения зависит прежде всего от того, насколько приемлема начальная аппроксимация коэффициентов с,(*) постоянными величинами с^0) на всем
рассматриваемом интервале времени, а также от того, как ведут себя последовательные члены ряда (т.е. члены при последовательных степенях X): убывают, возрастают, осциллируют и т.д. Отметим, что ограничение в (8) первыми двумя членами носит название первого борновского приближения ( по имени известного немецкого физика М.Борна), а первыми тремя - второго борновского приближения. Если в момент времени ( - (0 возмущение отсутствует, то волновую функцию в этот момент времени можно записать в виде соотношения (3). Умножая выражение (8) на Ч* .(х)е~1Е°1* и суммируя по /, получим с учетом выражения (4):
ф(х,0 = фо(х,0 - IУ Ф0//а <ф0( | у(х,() ] ф0> +
/ ? (3.3.9)
+ (022фо//л'<ф«1 г(*,о|ф0и>/л"<ф0и| у(х,0\фо> +... •
Этот ряд уже представляет не отдельные коэффициенты <:,(*) , а волновую функцию возмущенной квантовой системы в момент времени I. Здесь также первые два члена в правой части определяют первое борновское приближение, которое, в частности, отчетливо показывает, что интегралы^Л <Ф0/1 У \ Ф0> суть не что иное, как коэффициенты разложения поправки первого порядка Ф(1) к функции Ф0 в ряд по исходным невозмущенным функциям Ф0/. Далее мы ограничимся лишь первым борновским приближением, считая, что по крайней мере при малых временах после включения возмущения У{х,() в момент времени t = t0 это приближение справедливо. Рассмотрим тот частный случай, когда возмущение может быть представлено в виде произведения двух сомножителей: У{х), зависящего только от пространственных переменных, и Д*), зависящего только от времени. Такое возмущение появляется, например, когда квантовая система попадает в поле монохроматической световой волны, и в каждой точке напряженность электрического и магнитного полей определяется векторным потенциалом
А = А0(г)е~ш.
В частности, для плоской монохроматической волны А0(г) = = А е1шпг, где п - направление распространения волны и п*г - скалярное произведение векторов п и г, т.е. проекция г на это направление. При таком представлении потенциала в виде У(х) •/(*)
165
164
функция Ф(х,*) первого борновского приближения запишется так: Ф(*,0 = Ф0(*,г) - 1^ат <ФИ| ^)|^0т>(//(гу^г'Л)Ф0/, (3.3.10)
так что зависимость функции Ф(г,*) от времени в первом порядке теории возмущений будет определяться интегралом Фурье для функции Дг).
б. Пример: плоская монохроматическая волна. Рассмотрение взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем обычно проводится в предположении, что поле может быть описано классически (см.§ 4, гл. 2). Возмущение квантовой системы полем определяется теми членами в гамильтониане Н , которые зависят от потенциалов поля:
где г. и р{ - радиус-векторы и векторы импульса каждой частицы системы, д. - заряды частиц, и - их "внутренний" потенциал взаимодействия между собою, а А(г, *) и ф(г, *) - векторный и скалярный потенциалы в точке нахождения частицы I. Следовательно, Н = Н0+ V и
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed