Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
КрОВИ у высших животных ИЛИ локомоцпи МПКр0Ор[ а низу о!!
являются чисто механическими и выходят за рамки изложенных выше допущений. Однако использование этих допущений позволяет анализировать без особой потери точности все фундаментальные явления, перечисленные и |л. 1. Более общие ситуации, в которых, например, осуществляется взаимосвязь
Уравнения, основанные на законах сохранения
37
между механическим движением, теплели "чи эффектами и химическими явлениями, будут по мерс необходимости рассмотрены особо.
Какие же переменные описывают мгновенное состояние системы, удовлетворяющей перечисленным выше условиям, н как можно вычислять их значения? Прежде всего, допущения 1 и 2 позволяют рассматривать темперлпру и конвективную скорость отдельно от парннальны\ плотностей компонентов X;, ...
Х„. характеризующих состав смеси. Для вычисления этих плотностей необходимо найти уравнения, описывающие эволюцию нн 1срссуркци.ч пае величин в многокомпонентной смеси реагентов. Этот вопрос рассматривается в разд. 2.2.
2.2. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА МАССЫ
Принцип сохранения полной массы произвольной (нереляти-нистской) системы можно выразить н следующей форме (см. рис. 2.1):
Поток массы через поверхность ?зз-^^-. (2.1)
Иными словами, внутри объема V масса не создается, какие бы процессы там ни Притекали. Положение изменяется при рассмотрении массы каждого химического компонента отдельно. В этом случае имеем
ёт. й и. <*|1я?
¦ЗГ^ТГ- + -5Г (/='."¦.«). (2-2)
где
= Производство Х^ в результате химических реакции.
Обозначим через г число химических реакций, в которых участвует компонент X/, и пусть й^о (р = I, .... г) — скорости от-
п
Рис. 2.1. Открытая система, обменивающаяся вещества-ыи 1.....п с внешний средой через ограничивающую поверхность X; .,., 1^ и
Р[ • ¦ - • i Рп ~ диффузионные потоки и концентрации этих веществ на поверхности со-ответственно.
А*
38
Глава 2
дельных реакций. Если допустить, что межмолекулярные взаимодействия не входят явно в выражение для частоты эффективных столкновений, то скорости реакций можно выразить через парциальные плотности {р,-}. Такое допущение позволяет расширить известное из равновесной термодинамики Представление об идеальной смеси, согласно которому каждый компонент смеси подчиняется законам идеальных растворов.
В качестве примера рассмотрим гомогенную реакцию, протекающую в малом объеме Д1Л
А-I-X,А + В. (2.3а)
Скорость такой реакции равна
|№М = ?,Л1/рдР,. ¦ (2-36)
Аналогично для реакции
А + 2Х, — * А + В + С - (2.4а)
имеем
В первой реакции потребляется одна молекула X;, а во второй — две. Можно считать, что стсхиометрические коэффициенты V компонента X/ в этих реакциях равны соответственно —I и —2. Полное потребление массы X в обеих реакциях определяется выражением
= - А, ДКрЛр( - 2*2 ДКрдр». (2.5)
В общем случае
а,т, _
0-1
Теперь уравнение (2.2) принимает вид
u,mi *-i
Um, dm* v-i
Удобно перейти к плотности pj, относя равенство (2.6) к единице объема V. Кроме того, при помощи соотношения -
W,^\dVwp (2.7)
Уравнения, основанные на законах сохранения
39
введем скорость реакции в единице объема я>р. Тогда имеем
Отметим, что равенство (2.8) можно также переписать в терминах молярных концентраций, парциальных плотностей, а также мольных или массовых долей, т. е. выразить через отношения
Р//?р, [322].
В общем случае интересующие нас здесь химические системы являются пространственно-неоднородными. Пусть величина
-описывает скорость изменения массы в объеме V за счет
вещества, проникающего через Ограничивающую этот объем поверхность ?. Обозначим через \^ соответствующие диффузионные потоки. Тогда можно записать
^р- = -^п.3*. (2.9)
Знак минус перед интегралом соответствует ориентации нормального единичного вектора п наружу от объема V (см, рис. 2.1). При помощи теоремы Гаусса о дивергенции поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный:
^2п-]* = ?<*К(1М,. (2.10)
С учетом последних двух равенств из (2.8) можно получить локальное уравнение для величины р/, приравнивая подынтегральные выражения в каждой точке объема V. С учетом предположения о механическом равновесии производная коммутирует со знаком интеграла. Таким образом, получаем [79]
¦^=-<1п,1,+2>/рШр. <2-п>
Как было показано выше в данном разделе, даже в простых случаях величины ы>р являются нелинейными (полиномиальными) функциями переменных {р,}. Следовательно, в общем случае уравнения (2.11) образуют систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Чтобы решить эти уравнения, необходимо дополнить их подходящими граничными условиями [363]. Эти отражающие внешние ограничения Условия, накладываемые на систему, могут быть различными.
40
Глава 2
В последующих главах более подробно будут рассмотрены граничные условия, в которых задаются потоки {)";} или концентрации {р,} на ограничивающей поверхности 2. Такие условия встречаются в краевых задачах гидродинамики и в теории электромагнитного поля; в дальнейшем изложении они будут называться условиями Неймана и Дирихле соответственно.
