Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
теорема Асколи. Подмножество S' пространства С(^) равностепенно
непрерывно, если выбором любых двух "достаточно близких" точек Хх и х2 в
Л гарантируется, что величины каждой функции f е S' при дг, и х2 будут
сколь угодно близкими. В таком случае никакой из элементов подмножества
S' не может проявлять резких пиков в его графе на J(. Это сводится к
некоторой "жесткости" формы во множестве состояний субстратов. Согласно
теореме Асколи, если - замкнутое ограниченное подмножество R3 (т. е.
компактное), при условии, что подмножество S' ограничено и равностепенно
непрерывно, то каждая бесконечная последовательность элементов в S'
* См. также [11*]. - Прим. перев.
512
С. Сваминатан
содержит сходящуюся последовательность [т. е. относительно компактную в
пространстве С ( /#)]. В нашем контексте эта теорема означает, что, если
только множество состояний не является конечным, всегда будут состояния в
подмножестве S', сколь угодно близкие по форме, т. е. их непрерывные
функции отличаются на столь малую величину, которая нас устраивает в
области У?. Вопрос о том, может ли фермент "различить" такие "близкие"
состояния, также изучен Эдельштейн и Розеном. За подробностями мы
отсылаем читателя к их работе. Мы процитируем еще один из многих
интересных результатов их работы, а именно, что непрерывные искажения
форм субстратов ведут к непрерывным изменениям в процессе распознавания.
3. МЕТОД ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Метод Эдельштейн - Розена для проблемы распознавания является прямым
методом, выходящим за пределы динамики, для которой он был реализован, -
превращения субстрата в продукт. Эта модель может быть расширена простым
и естественным образом путем включения количественной меры соотношения
между структурными характеристиками субстрата и продукта. Это было
осуществлено А. Луи, И. Ричардсоном и С. Сваминатаном [3]. Их подход к
проблеме распознавания начинается с построения феноменологического
описания общей динамической структуры, в которой система действует как
медиатор между имеющимися "причинами" и возникающими определенными
"следствиями". Мы дадим краткое описание феноменологического исчисления,
основанного на пространствах бесконечной размерности, которые хорошо
подходят для изучения систем в том случае, когда процесс распознавания
лежит в основе динамики. Подробности можно найти в работах [3, 5].
4. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ОПИСАНИЯ
Пусть Н - действительное гильбертово пространство. По определению это
означает, что Н - полное нормированное линейное пространство, снабженное
внутренним произведением < >, вследствие чего норма определяется как
ИхII2 = <х, х>. Гильбертовыми пространствами, которые мы будем
рассматривать, являются Н = R" - евклидово "-мерное пространство с
обычной нормой и пространство Н = L2(ix) всех действительных функций,
квадратично-интегрируемых на пространстве с мерой (X, М, /л), где
внутреннее произведение задается как <х, у) = ^xyd/л. Согласно теореме
Фермент-субстратное распознавание
513
представлений Риса, для гильбертовых пространств а - ограниченный
линейный функционал на Я, если и только если существует единственный
элемент у е Н, такой, что а(х) = (х, у). Эта теорема позволяет нам
отождествить пространство Я с его двойственным пространством Я*, которое
является линейным пространством всех ограниченных линейных функционалов
на Я с нормой Пай* = sup {Ног(лг)й : Ы = 1}. Хотя в этом смысле// = Н*,
мы будем различать элементы Я (контравариантные векторы).
Пусть у е Я и Ъ е Н*. Тензорное произведение у и Ъ (у (g) Ь) определяется
как билинейное отображение Я* х Я в R1, такое, что для (а, х) е Н* х Я
(у <g> b)(a, х) = а(у)Ь(х) = <у, Фа><х, ФЬ),
где Ф - линейное изометрическое отображение Я * на Я, определяемое как
а(х) = <х, Фа). Такое тензорное произведение называется тензором вида (1,
1) над Я. Пусть Т\(Н) обозначает множество всех конечных сумм тензоров
вида у1 (r) Ъ'. Используя правило суммирования Эйнштейна, мы обозначаем
типичный элемент Г {(Я) как у, (g> Ь'.
Для у е Я, Ь е Я * диада - билинейное отображение Я * х Я в R1,
определяемое как by (а, х) = (Фb (g) Ф 1у)(а, х) = <Фb <g) (g) Фа > <*,
у) - (а, Ь)*{х, у). Конечная линейная комбинация диад называется
диадиком. Поскольку Ф: Я* - Я - биективное изометрическое отображение,
тензоры Фb' (g) Ф~ {yt полностью порождают пространство Т\(Н), так как
соответственно Ь' и yt пробегают все конечные совокупности в Я* и Я.
Далее мы определяем двойное внутреннее произведение следующим образом.
Для а'х, (/ = 1, ... , т) и bJyj (j - 1 п) в Т\(Н)
<<а'х(, bJy3>> = (a',bJ)*(.xt,yJ) (суммирование по i и j)
= <Фа', ФЫ)(х1, yj).
Такое определение не зависит от представления диадиков; <<...)>
определяет внутреннее произведение на Т\(Н), но Т\(Н) не обязательно
будет гильбертовым пространством, поскольку его полнота не гарантируется.
*
Теперь мы можем определить "пространства описания". Пусть а1, а2, ... ,
а"' фиксировано в Я*. Пусть D = (а'х/. х,, хг, ... , хт е е Я) называется
