Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Кинг Р. -> "Химические приложения топологии и теории графов " -> 190

Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.

Кинг Р. Химические приложения топологии и теории графов — М.: Мир, 1987. — 560 c.
Скачать (прямая ссылка): himicheskieprilojeniya1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 216 >> Следующая

и рассмотрены некоторые численные результаты, к которым она приводит.
Пусть С - связный /-регулярный помеченный граф. Обозначим как RG(p) любой
подграф графа G, имеющий то же множество
500
Л. Квиитас
вершин, что и граф С, и множество линий, определяемое выбором или
исключением каждой из линий графа С с независимой вероятностью р или q =
1 - р. Поскольку подграф RG (р) является результатом случайного процесса,
для его анализа используются соответствующие методы теории вероятностей.
Назовем RG(p) случайным подграфом графа G.
Математическое исследование случайных графов интенсивно продолжалось
после появления пионерских работ П. Эрдёша и А. Реньи [1], Э. Гильберта
[2], Т. Остина и др. [3J. Обширный обзор случайных графов можно найти в
работе М. Каронского [4]. Важность вероятностных представлений в физике и
химии не была оставлена без внимания физиками, которые независимо
разработали и применили множество вариантов моделей случайных структур. В
качестве примеров ряда последних работ, содержащих значительное число
библиографических ссылок и комментариев, связывающих некоторые из этих
идей, можно привести статьи Дж. Блума и др. [5], Дж. Кеннеди [6] и X.
Кестена [7].
Опишем сначала случайную величину, используемую нами в дальнейшем.
Пусть Xj обозначает число вершин в подграфе RG(p), которые имеют степени
j (J = 0, 1, 2, ... , г). Прежде всего отметим, что
является вероятностью того, что данная вершина подграфа RG(p) имеет
степень j. Из этого легко выводится, что для графа G конечного порядка п
ожидаемое число вершин в подграфе RG(p), имеющих степерь j, равно Е{Х}) =
nf \ для графа С бесконечного порядка ожидаемая доля вершин в подграфе
RG(p), имеющих степень у, равна просто f. Кроме того, отметим, что в
общем случае вероятностное распределение X определить нелегко. Дальнейшее
обсуждение X см. в работах [8-10].
Для того чтобы рассмотреть тонкую структуру RG(p), определим RGj(p) как
подграф RG(p), образуемый вершинами подграфа RG(p), имеющими степени >у
(см. [8,*11]).
Понятие критической вероятности pL для графа G бесконечного порядка
появляется как в физической, так и в математической литературе, и имеются
варианты его определения. Некоторые замечания по этому поводу см. в
работе [7]. Здесь мы используем следующее определение.
Если G - граф бесконечного порядка, тот факт, что р1 является критической
вероятностью для случайного подграфа RG(p), озна-
Функция объема для воды
501
чает, что подграф RG (р) имеет компоненту бесконечного порядка с
вероятностью, сколь угодно близкой к единице [т. е. почти все RG(p) будут
иметь компоненту бесконечного порядка], если и только если р > р1.
Критическая вероятность р' для RGj (р) определяется точно таким же
образом.
Заметим, что
Ро ^ Р\ < Pi ** Р\ Р)-1 ** Р)
и
= Ро = Р\ = Рг [8, 11].
Определение величин рL является трудной задачей.
В физической литературе критические вероятности называются также
вероятностями перколяции {просачивания) по связям *.
Компонента бесконечного порядка называется "гигантской" компонентой. Для
конечного графа порядка п компонента называется большой, если ее порядок
больше, чем [п/2] (см. [9]). Можно полагать, что большие компоненты
аналогичны "гигантским"; однако пока еще сделано недостаточно для
утверждения о том, что имеются полезные аналогии с понятием критических
вероятностей в случае конечного порядка.
2. МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ ДЛЯ ВОДЫ
Мнения некоторых исследователей согласуются в том, что качественное
поведение воды является поведением системы связанных посредством
случайных водородных связей молекул воды, которая подвержена непрерывному
реструктурированию (см. [12]; [13], разд. IIB, с. 3405; [14], с. 4185;
[15], с. 419 и 426; [16]; [17], с. 125). Это побудило авторов указанных
работ и других исследователей использовать модели случайных графов для
изучения свойств воды **. Существование резких фазовых переходов,
наблюдаемых в воде, и внезапное появление "гигантских" компонент в
случайных графах при величинах критической вероятности делают такие
модели особенно привлекательными.. Первоначальные попытки использования
этого подхода привели к установлению того факта, что случайные графы типа
графов Эрдёша - Реньи не являлись полностью удовлетворительными для
моделирования такой физической системы
* См , например, [22*] (§ 9.10) - Прим перев.
** Обсуждение перколяционной модели воды см. в [23*]. - Прим. перев.
502
Л. Квинтас
вследствие неограниченности степени вершин в математической модели.
Впоследствии были исследованы случайные графы с ограниченной степенью
вершин. Однако при этом столкнулись с трудностями, когда, как было
показано, свойства, связанные с циклической структурой модели, и
физическая система оказываются несовместимыми ([5], разд. 7; [15], с.
123). В настоящее время рассматриваются модели, основанные на теории
графов; в этих моделях исходят из графа О, имеющего структуру, близкую к
структуре физической системы на конечной стадии некоторого процесса
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 216 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed