Основные процессы и аппараты технологии промышленных взрывчатых веществ - Генералов М.Б.
ISBN 5-94628-130-5
Скачать (прямая ссылка):
Изменение формы. Рассмотрим действие касательных напряжений и вызываемых ими угловых деформаций. При углах сдвига, малых по сравнению с единицей, можно считать, что ребра параллелепипеда не удлиняются и его деформация заключается только в скашивании и повороте. Такую деформацию, вызываемую действием пары взаимно равных касательных напряжений x-j = Xj. (iJ = 1,2, 3; /*/), называют простым сдвигом.
Под действием напряжений, например T12 = T21 произойдет скашивание параллелепипеда (см. рис. 4.2).
Угол поворота грани аЬ относительно вертикальной оси
tga12 = a12 = д Uyfdx2,
а угол поворота грани be относительно горизонтальной оси
tSpi2 = P12 = dU2/dxv
Полный относительный сдвиг, т.е. искажение прямого угла abc (его уменьшение),
Y12 + ^21 = ai2 + P12 ~ dUy/dXj + dU2/dxv 104 Таким образом, деформация тела заключается в изменении формы, вызванном воздействием касательных напряжений, и в изменении объема под действием всестороннего давления.
Такое представление деформаций имеет важное значение при анализе закономерностей деформирования, поскольку эти виды деформаций могут описываться разными законами. Так, и у упругих, и у вязких тел объемная деформация прямо пропорциональна всестороннему давлению. Сопротивление же формоизменению у этих тел различное. У упругих тел их форма изменяется прямо пропорционально напряжению сдвига, вязкие же тела вообще не могут сохранять форму и сопротивляться сдвигу.
Разложение тензора напряжений. Напряженное состояние в точке можно представить в виде суммы двух напряженных состояний. Первое из них возникает под действием трех пар одинаковых нормальных напряжений, равных средним значениям
°ср = (°11 + °22 + °33>/3 = + 02 + °3>/3-
Показатель аср, называемый средним нормальным напряжением, равен всестороннему (гидростатическому) давлению и вызывает изменение только объема. Вторая составляющая напряженного состояния вызывается касательными напряжениями T12 = T21; T13 = т31; T23 = T32 и разностью между нормальными напряжениями и их средним значением:
105 J1 = O11 - acp; J2 = O22 - acp; J3 = O33 - ocp.
Таким образом, напряжения J1, J2 s3 определяют, насколько данное напряженное состояние отклоняется от всестороннего равномерного сжатия или растяжения. Легко можно увидеть, что J1 + J2 + J3 = 0. Это означает, что объемные деформации при втором напряженном состоянии равны нулю и воздействие напряжений J1, J2 J3 приводит лишь к изменению формы.
Разложение тензора деформаций. Деформированное состояние элементарного объема можно представить в виде суммы двух деформированных состояний. Одно из них вызывается тремя парами одинаковых линейных деформаций со средними значениями
Ecp = (ЄП + E22 + ?33)/3 = (E1 + E2 + ?3)/3 = Е^/3.
Показатель Ecp называют средней линейной деформацией. Очевидно, что форма элементарного параллелепипеда при воздействии Ecp не меняется, а показатель Ecp характеризует лишь объемную деформацию.
Второе деформированное состояние определяется угловыми деформациями у12 = у21; Y13 = Y31; Y23 = Y32 и разностью линейных деформаций: е, = E11 - E ; е2 = E22 - Ecp; ех = E11 - Ecp, определяющей, насколько данное деформированное состояние отклоняется от всестороннего равномерного сжатия или растяжения. Легко можно увидеть, что eY + е2 + е3 = 0.
Это означает, что при втором деформированном состоянии объем не изменяется, и деформации заключаются лишь в изменении формы.
Разложение тензора скоростей деформаций. Как и с тензором деформаций, аналогичную операцию разложения тензора на шаровую и де-виаторную составляющие можно произвести и с тензором скоростей деформаций. Показатель ?ср = (en+ E22 + ?33)/3 = (E1 + E2 + ?3)/3 = = E f/З, называемая средней скоростью линейной деформации, характеризует скорость объемной деформации.
Показатели Y12 = Y2P Yi3 = Y31; Y23 = Y32; Ci=E11- еср; е 2 = I22 - Ecp; е з = E33 — Ecp определяют скорость деформаций формы.
4.3. Основные дифференциальные уравнения механики сплошных сред
Уравнение неразрывности. Уравнения неразрывности, переноса импульса, теплоты и вещества представляют собой математическую формулировку основных, фундаментальных понятий механики сплошных сред.
В дальнейшем эти известные уравнения приводятся без выводов и представлены в проекциях на оси прямоугольной системы координат. Уравнения неразрывности и переноса в цилиндрической и сферической системах координат представлены в [2].
106 В основе уравнения неразрывности лежит закон сохранения массы:
(4.4)
Эр Э . . д , . Э ч „
где р - плотность среды; t - время; (vx, v , vz) - компоненты вектора скорости в произвольной точке пространства.
Уравнение переноса импульса (уравнение движения сплошной среды). В основе этого уравнения лежит закон сохранения количества движения.
Проекция на ось х.
dvr dvr dvr 3vr 1
-— + V —— + V -— + V2-— = —
Эt x дх y ду dz p
ЭOjc | Bxjar | Эт^ Эдг ду dz
+ Sx
(4.5)
. Проекция на ось у.
Эу„
ЭУ„
¦ + V,
• +V,,
dt хЪх у ду Проекция на ось z:
+V„
dv
