Основные процессы и аппараты технологии промышленных взрывчатых веществ - Генералов М.Б.
ISBN 5-94628-130-5
Скачать (прямая ссылка):
а-\г Ъ
1
\г і
I Z-
¦зи
2 3
Ї21 ?
I21
Y3I
т13
-Г
Уїз \
Ь J с2 3
t]
123
Ї32
132
Рис. 4.2. Деформированное состояние элементарного макрообъема
101 и касательных напряжений. Линейные деформации в,,, E22, B33 характеризуют относительные укорочения или удлинения ребер элементарного параллелепипеда. Поскольку для большинства несвязных сыпучих сред характерно нулевое сопротивление растягивающему деформированию, то условимся положительными линейными деформациями считать укорочения, отрицательными — удлинения.
Относительные сдвиги Y12 = у21, Y13 = у31, Y23 = Y32 характеризуют изменение углов между гранями элементарного параллелепипеда. Считается, что положительному сдвигу соответствует уменьшение угла между положительным направлением осей, а отрицательному — его увеличение.
Если U1, U2 , Ui — смещения материала вдоль соответствующих осей прямоугольной системы координат, то малые деформации можно представить в следующем виде:
E11 = дUlZdxl, E22 = OU2Zdx2, E33 = дUiZdx3;
Yi2 = Y2I = д UlZdX2 + дU2Zdxv Y13 = Y31 = д UxZdx3 + дUiZdxy,
Y23 = Y32 = d U2Zdx3 + d U3Zdx2.
Эти уравнения называются уравнениями Koutu. Обычно в механике сплошных сред рассматриваются именно такие малые деформации, т.е. деформации, значительно меньшие единицы. Такая теория деформирования получила название линейная теория deфopмupoвaнuя.
Областью применения линейной теории являются деформации массивных тел (сред), имеющих одинакового порядка протяженность во всех трех измерениях.
Из курса по сопротивлению материалов и других разделов механики сплошных сред известно, что через каждую точку тела можно провести по крайней мере три взаимно ортогональных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называются главными mout,adKOMu, а направления площадок (направление ортогональной к ним оси) — главным направлением.
Соответственно нормальные напряжения, действующие на этих площадках, называются главными нормальными напряжениями O1, а2, а3, а линейные деформации на аналогичных площадках, называются главными линейными deфopмaцuямu E1, E2, E3. Главные напряжения имеют наибольшее и наименьшее значения из всех значений напряжений в данной точке, обычно их обозначают O1 > O2 > а3.
В механике сплошной среды широко применяют тензорный анализ, позволяющий записать соотношения между всеми компонентами напряжений и деформаций в более компактной форме.
102 Рассмотренное напряженное состояние в точке тела можно охарактеризовать матрицей
Ol 1 T12 T13
Il T21 О 22 х23
T31 T32 °33
(4.1)
Показатель Ти, записанный в виде такой матрицы, называют тензором напряжений.
В матрице нормальные напряжения расположены по диагонали, а одинаковые по величине касательные напряжения — симметрично этой диагонали. Поэтому тензор напряжений называется симметричным. В первой строке расположены все компоненты напряжений, имеющие направления, параллельные оси 1, (см. рис. 4.1) во второй строке — параллельные оси 2 ив третьей строке — параллельные оси 3. Кроме того, в первом столбце сгруппированы напряжения, действующие на площадке, нормаль к которой параллельна оси 1, во втором столбце — все напряжения на площадке с нормалью, параллельной оси 2, ив третьем столбце — на площадке с нормалью, параллельной оси 3.
Все предыдущие рассуждения можно повторить для деформаций и скоростей деформаций. Тензор деформаций характеризуется матрицей
T = 1 д
El1 Yl2 Yl3 Y21 е22 Y23 У31 Y32
33
(4.2)
Аналогично выражается тензор скоростей деформаций:
ёи Yi2 Yi3
T = Y21 Є22 Y23
Y31 Y32 Єзз
(4.3)
Скорости деформаций обозначены символами E11, Y12, ... и т. д. Точка над символом означает дифференцирование по времени и соответственно: E11= den/dt, Y12= dyl2/dt, ... и т.д.
Напряженно-деформированное состояние в данной точке тела вполне определенно, если известны тензор напряжений и тензор деформаций или тензор скоростей деформаций.
Изменение объема. Если к элементарному параллелепипеду приложить три взаимно равных сжимающих напряжения, то параллелепипед будет находиться в условиях всестороннего сжатия O11 = O11 = O33.
103 Касательные напряжения на любой из сторон параллелепипеда будут равны нулю. Приложенные нормальные напряжения вызовут относительное укорочение граней параллелепипеда: E11 = е22 = е33 (для изотропного материала). Если нормальные напряжения при указанных условиях будут растягивающими, то они вызовут соответствующее удлинение граней параллелепипеда.
Если первоначальный размер каждой грани параллелепипеда принять равным единице (рис. 4.3), то относительное изменение объема такого куба
ек= AV/V= 1 - (1 ± E11Kl ± E22Kl + E33),
где AV- изменение первоначального объема куба F= 1.
Знак плюс соответствует удлинению граней, знак минус их укорочению.
Приведенное выражение после его развертывания и отбрасывания малых величин второго и третьего порядков примет вид
Eу E11 + E22 Е33 E1 + E2 + E3-
Таким образом, три взаимно равных относительных укорочения (удлинения), обусловленных воздействием всестороннего сжатия (растяжения), вызывают объемную деформацию еу параллелепипеда, не изменяя его формы.
