Импульсная и фурье-спектроскопия ЯМР - Фаррар Т.
Скачать (прямая ссылка):
у и учитывая, что |х = -j-p, получаем
dp/dt = ч dp/dt = (1-23)
Пусть М является векторной суммой всех [л. Тогда, суммируя выражение
(1.23) векторно по всем |л, получаем соотношение для макроскопической
намагниченности:
dM/dt — уМ X Н. (1.24)
Векторное произведение с помощью соотношения (1.18) можно выразить через
компоненты сомножителей по трем взаимно перпендикулярным осям и единичные
векторы, направленные по этим осям:
26 Глава 1
М X Н =
М„ Hr i
м„ н
м.
у J
Я, к = (Мунг
-MzHy)i + {MzHx-MxHz)j +
?ММХ) к.
(1.25)
+ iMjfl у
Вообще говоря, поле Н в выражениях (1.24) и (1.25) является суммой
постоянного приложенного поля Н0 и магнитной составляющей ВЧ-поля Нх.
Последнюю можно рассматривать как поле, вращающееся в плоскости ху с
угловой частотой ш[1, 4]. Поэтому компоненты поля Н определяются
выражениями
Нх = cos со t, Ну = — Hl sin ш t, Hz = #0. (1.26)
Объединяя выражения (1.24) — (1.26), получаем три уравнения, описывающие
зависимость компонент вектора М от времени:
dMJdt = '(• (My HQ + MzHt sin со t),
dMJdt — у (МгН1 cos о) t — MXH0), (1-27)
dMJdt = — 7 {MxHl sin to t + Муй) cos со t).
Уравнения (1.27) пока еще не полны, так как в них не учитывается
релаксация. Блох с сотр. [1] предположил, что спин-решеточную и спин-
спиновую релаксации можно рассматривать как процессы первого порядка с
характеристическими временами 7\ и Т2г. Компоненты Мх и Му, уменьшаясь,
стремятся к равновесному значению, равному нулю, тогда как Мг стремится к
значению М0. Поэтому уравнения Блоха в окончательном виде выглядят так:
dMJdt = Tf (МуЯ0 + MzHj sin со t) — MJT2,
dMy/dt = y {MJi^ cos со t — MXH0) — MJT2, (1.28)
dMJdt = — ^{MXH± sin vt + M Hl cos со t) — (Mz — A40)/7’1.
1 В отношении T2 это предположение оказывается верным для жидкостей, но
не для твердых тел.
Основные понятия ЯМР 27
Времена Тг и Т2 часто называют временами продольной и поперечной
релаксации соответственно, поскольку они являются постоянными времени
спада компонент намагниченное™, направленных параллельно и
перпендикулярно полю Н0.,
Уравнения Блоха при различных ограничивающих предположениях можно решить
непосредственно, хотя и с большой затратой труда. При условии медленного
прохождения через резонанс получается обычный сигнал поглощения
лоренцевой формы, сдвинутый по фазе на 00° относительно Hj, и сигнал
дисперсии, совпадающий по фазе с Н* [1, 4]. Важность этих
дифференциальных уравнений мы увидим далее, в последующих разделах
книги1.
1.5. Вращающаяся система координат
При рассмотрении импульсных методов очень удобно относить движение
намагниченности не к неподвижной (лабораторной) системе координат, а к
координатной системе, вращающейся вокруг Н0 в том же направлении, в
котором прецессируют ядерные моменты. Эту координатную систему называют
вращающейся системой координат или вращающейся системой отсчета [6].
Идея вращающейся системы координат достаточно хорошо известна, так как
все мы обычно отсчитываем наше положение и движение относительно Земли,
т. е. относительно координатной системы, вращающейся с угловой скоростью
2л/24 рад-ч-1. Человек, «неподвижно» стоящий на экваторе, удаленному
наблюдателю покажется движущимся со скоростью почти 2000 км/ч. А если еще
этот человек будет подбрасывать мяч «вертикально» вверх и позволять ему
свободно падать в поле тяготения Земли, то для него мяч будет совершать
простое вертикальное прямолинейное движение и не будет подвержен действию
каких-либо горизонтальных сил. В то же время для удаленного наблюдателя
мяч будет описывать сложную траекторию, составленную из отрезков парабол.
1 Уравнения Блоха неприменимы к твердым образцам. — Пюим. ред.
28 Глава 1
Подобным же образом вектор намагниченности в|пра-вильно подобранной
вращающейся системе координат может совершать гораздо более простое
движение, чем в лабораторной системе. Чтобы перейти к количественному
рассмотрению вопроса, необходимо посмотреть, как меняется основное
уравнение движения М (1.24) при переходе к вращающейся системе. Вообще
говоря, мы решили воздерживаться в этой книге от подробных выкладок,
однако в данном случае вывод уравнений можно оправдать как чрезвычайной
важностью результата для последующего изложения, так и тем, что, несмотря
на его простоту, результат не является очевидным.
Чтобы вывести основные уравнения вращающейся системы координат, получим
сначала простое и известное выражение, связывающее производную вектора ОД
по времени с его компонентами. Пусть
М = MJ + Муj + MJk. (1.29)
С помощью обычной формулы для производной произведения [7] получаем
dM дМх д\ дМу т dj дМг
~df= dt * + * ~dt "*? dt~J + У 1Г ^ дГ~
Зк ( дМх дМу дМ \
+M^w^[~dTi + -~w~i + -dt-k) +
[ д: dj йк \
Ж) ' (1.30)
Поскольку I, j и к — единичные векторы, их производные по времени не
могут изменять своей длины, а могут быть связаны только с вращениями
векторов. Математически вращение описывается с помощью векторного
произведения [5]:
— =ВХ1, — = о) х j, — =wxk. (1.31)
