Импульсная и фурье-спектроскопия ЯМР - Фаррар Т.
Скачать (прямая ссылка):
где” i, j, к — единичные векторы, направленные вдоль осей
х, у и г. Из теоремы Пифагора следует, что длина вектора А определяется
выражением
| А1 = [Л| + А1+ Л|]7«. (1.13)
В тех случаях, когда не может возникнуть неоднозначнос-
ти, для обозначения длины, или величины, вектора А мы можем вместо |А|
писать просто А.
Скалярное произведение (обозначаемое точкой) двух векторов А и В, угол
между которыми равен 0, определяется следующим образом:
А • В = | А 11 В ] cos 0. (1.14)
С помощью простых геометрических соображений можно показать, что
А-В = AxBx + AyBy + AzBz. (1.15)
Скалярное произведение, как это видно из его названия,— скалярная
величина, т. е. оно имеет величину, но не имеет направления.
Векторное произведение (обозначаемое косым крестом) двух векторов с углом
0 между ними — векторная величина; длина этого вектора равна
| А х В| = j А11 В Jsin 0. (1.16)
Направление векторного произведения совпадает с перпендикуляром к
плоскости, задаваемой векторами А и В, как показано на рис. 1.1. Заметим,
что три вектора А, В
i
иАх В образуют правостороннюю систему. Соответственно вектор В X А на
рис. 1.1 был бы направлен вниз; иначе говоря,
В элементарных курсах векторного анализа [5] показывается, что удобнее
всего представлять векторное произведение через компоненты отдельных
векторов с помощью определителя
Мы используем эти выражения при классическом рассмотрении ЯМР.
1.3. Прецессия ядер
Хотя многие особенности спектров ЯМР можно понять лишь с помощью
квантовомеханического рассмотрения системы энергетических уровней (разд.
1.1), ряд свойств легче наглядно описать путем классического
рассмотрения. В эту категорию попадает большинство импульсных
экспериментов, которые мы будем разбирать; поэтому мы будем пользоваться
почти исключительно классическим методом.
С помощью представлений классической механики [4] легко показать, что
момент сил, действующий на магнитный момент, наклоненный под произвольным
углом 0 к направлению магнитного поля (рис. 1.2, а), заставляет магнитный
момент ядра прецессировать вокруг направления поля с частотой,
определяемой известной формулой Лармора:
ВхА = — Ах В.
(1.17)
Ах Вх i А X В = Лу Ву ) Аг Bz к
(1.18)
>о = — тН0/2гс (Гц)
(1.19)
или
ТН0 (рад/с).
(1.20)
(Обозначения были приведены в разд. 1.1. Знак минус означает, что при ^ >
0 движение происходит в направлении,
z z
Рис. 1.2.
a — прецессия магнитного момента р. вокруг направления постоянного
магнитного поля Н0. Вектор высокочастотного поля Нх вращается в плоскости
ху; б — прецессия ансамбля одинаковых магнитных моментов ядер с / = г/2.
Результирующая макроскопическая намагниченность направлена вдоль Нв (ось
2), и ее равновесное
значение равно ЛГ0.
показанном на рис. 1.2, а.) Поглощение энергии ВЧ-поля ядерными спинами
происходит лишь тогда, когда радиочастота vB4 удовлетворяет условию
резонанса
VB4 = V (1-21)
Можно считать, что магнитный вектор ВЧ-поля Н4 вращается в плоскости ху,
перпендикулярной Н0, как показано на рис. 1.2, а. При поглощении энергии
ВЧ-поля Hj угол 0 между магнитным моментом и Н0 изменяется, однако
частота прецессии остается постоянной.
Мы всегда рассматриваем не одиночный ядерный момент, а ансамбль,
содержащий большое число одинаковых ядер. На рис. 1.2, б изображена
прецессия ядерных моментов с / = V2. Все моменты прецессируют с
одинаковой частотой; поскольку направления хну ничем не отличаются, то
нет причин, по которым сохранялась бы фазовая когерентность моментов в
плоскости ху. Однако в системе имеется выделенное направление — ось г,
задаваемая направ-
лением магнитного поля Н0 и параллельная ему. Поскольку в распределении
Больцмана имеется небольшой численный перевес состояний с меньшей
энергией, то при равновесии в направлении поля Н0 будет ориентировано
больше ядер, чем против поля. В результате наблюдается макроскопическая
намагниченность М, направленная вдоль оси г.
Далее мы увидим, что при рассмотрении импульсных процессов почти всегда
вполне достаточно иметь дело с макроскопической намагниченностью. Легче
всего оценить изменение намагниченности М и эффекты релаксации, если
рассмотреть уравнения, выведенные Блохом, и использовать при этом
упрощение, которое даег применение вращающейся системы координат.
1.4. Уравнения Блоха
Блох с сотр. [1] нашли, что движение вектора макроскопической
намагниченности во внешнем магнитном поле можно описать с помощью
феноменологических дифференциальных уравнений. Исходным пунктом является
классическое уравнение движения [4] магнитного момента в магнитном поле
Н, направление которого пока никак не фиксируется:
dpldt = |ixH. (1.22)
Это уравнение указывает на то, что скорость изменения углового момента
ядра (р) зависит от крутящего момента [А X Н, действующего на магнитный
момент со стороны приложенного поля. [Движение, описываемое уравнением
(1.22), представляет собой прецессию вокруг направления
Н, как показано на рис. 1.2, а.] Умножая обе части уравнения (1.22) на
