Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Роль вероятностных методов в подобных статистических исследованиях второстепенна (по сравнению с самим получением фактических данных). Не следует, конечно, забывать о том, что сами по себе первичные данные обычно дают неприятную для глаза и ума картину полного беспорядка: смысл и порядок в этой картине выявляются только после усреднения, сглаживания и вообще какой-то обработки. Поэтому вероятностные приемы (пусть простейшие) являются необходимым вспомогательным средством. Но хотя бы небольшое усложнение используемых приемов (например, до уровня проверки простейших статистических гипотез) приносит, вообще говоря, не бесспорные результаты из-за фундаментальных сложностей, связанных с выбором вероятностной модели.
20*
307
§ 3. Обработка измерений (наблюдений)
Чем проще теоретическая наука, тем шире область ее применений, и, наоборот, чем сложнее наука, чем она глубже п интеллектуально привлекательнее, тем уже (но, впрочем, и интереснее) область применений. Эта мысль в данной книге повторяется неоднократно. Дав на примерах некоторое понятие о том, до какой степени сложности может дойти теория вероятностей, используемая в процессе принятия массовых технических решений (или, если угодно, как реальная техническая ситуация не допускает попыток слишком глубокого использования теории вероятностей), мы, начиная с данного параграфа, обращаемся к более узким применениям теории вероятностей, в рамках, так сказать, «чисто научных», непосредственно с техническими решениями не связанных. (Вероятностное рассмотрение может быть одним из многих мотивов технического решения.)
Для любой науки характерна задача той или иной обработки наблюдений. Применительно к астрономическим (геодезическим) наблюдениям эта задача с вероятностной точки зрения рассматривалась в начале XIX в. Лапласом и Гауссом. В результате были вызваны к жизни нормальное распределение в качестве закона распределения вероятностей для ошибок наблюдений, а также метод наименьших квадра-тоз. В начале XX в. К. Пирсоном, Стьюдентом и Фишером были уточнены приемы Лапласа и Гаусса так, чтобы было возможно охватить и случай выборок малого объема; при этом были введены распределения хи-квадрат (Пирсона), Стьюдента и Фишера (математические детали см. в первой части книги). Здесь мы остановимся лишь на больших выборках, т. е. на приемах обработки наблюдений с помощью центральной предельной теоремы в том виде, в каком такую обработку предложили Лаплас и Гаусс.
Чтобы не создавать у читателя ложного впечатления, необходимо заметить, что Лапласа и Гаусса интересовали прежде всего так называемые косвенные измерения. Положение небесного тела в пространстве является, в силу законов Ньютона, функцией от времени и некоторых параметров его орбиты в солнечной системе. Мы же наблюдаем его положение на небесной сфере, определяемое некоторыми углами, которые оказываются, таким образом, функциями времени и параметров орбиты. Нужно восстановить (возможно точнее) цараметры орбиты, учитывая, что наши наблюдения углов подвержены случайным ошибкам. Таким образом, для астронома вероятностная модель ошибок наблюдений является чем-то промежуточным, что, собственно, его мало интересует. Обрабатывая методом наименьших квадратов измерения положений светил, Лаплас и Гаусс узнали много бесспорно
308
верного и замечательного. Но нас в этой книге интересуют не астрономические выводы, а сама вероятностная модель ошибок наблюдений. Ограничимся поэтому исключительно прямыми измерениями, когда в опыте измеряется непосредственно та физическая величина, которая нас интересует. Например, в наше время ни в одном медицинском журнале нельзя опубликовать попросту среднее значение какой-то величины для определенной совокупности пациентов, а нужно опубликовать М ± т, где М — среднее значение, am — ошибка среднего значения, вычисляемая по таинственным для большинства медиков правилам (а на самом деле — по правилам, установленным Лапласом). Действительно ли эта ошибка т имеет тот смысл и значение, какой с давних пор (фактически следуя Лапласу) придают ей учебники математической статистики?
Вероятностная модель ситуации прямых измерений состоит в том, что
xi = a + 6i, 1=1, ...,п, (1)
где Х-, — результат i-ro измерения, б,- — ошибка t'-ro измерения, причем ошибки в разных измерениях бь 62,.... 6„ — независимые случайные величины и Мб,=0.
Очень важно сказать, что такое а. Если Мб{=0, то а — = tAXi, т. е. современный статистик скромно говорит, что а — это математическое ожидание отдельного наблюдателя. Но классики и за ними и очень многие люди на протяжении XIX и XX вв. полагали, что а — это истинное значение измеряемой величины. Аргументация сводилась к тому, что ученый — вообще человек честный, да и врать ему, сознательно преувеличивая или преуменьшая, скажем, среднее расстояния от Земли до Солнца, совершенно незачем. Поэтому ему одинаково вероятно при измерениях ошибиться на ( + е) и на (—в), т. е. плотность распределения для результата наблюдения симметрична относительно точки а — истинного значения измеряемой величины, но тогда Мл,=а, следовательно, М6;=0 (т. е. нет систематической ошибки наблюдений). В гл. 1 ч. I данной книги (при обсуждении закона больших чисел) мы уже видели, что в точности так не может быть: измеряя длину 50, 1 мм масштабной линейкой, самый честный человек всегда будет получать 50 мм, т. е. систематическая ошибка будет. Но не возбраняется думать, однако, что — прн современном разнообразии способов как угодно растянуть шкалу измерительного средства — систематическая ошибка будет намного меньше случайных ошибок. Это к означает, что в модели можно считать, что систематической ошибки нет.
