Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Однако во многих случаях физические законы переноса компонент оказываются более сложными. Так, излучение тепловой энергии от тела животного к окружающим предметам подчиняется закону Стефана — Больцмана
У\ = (*} — ai). (6.23)
где у 1—темп теплового потока (ккал/час), х\ и i>i — температура, соответственно, кожи и среды в градусах Кельвина, а — постоянная Стефана — Больцмана (сг = 0,49-10~7 ккал/м2-час• •град*), S — эффективная площадь излучающей поверхности.
Заметим, что уравнение (6.23) хорошо линеаризуется в области тех температур, с которыми обычно имеет дело исследователь (от —20 до +50 °С). Можно привести примеры нелинейных зависимостей переноса компонент, плохо поддающихся линеаризации.
Пример 6.2.2. Рассмотрим простейшую модель миграции саранчи под действием феромона. Феромоны — особого рода «пахнущие» химические вещества, выделяемые отдельными особями животных н используемые ими для химического общения с другими особями того же вида. Передача этих веществ происходит по воздуху в соответствии с линейными законами диффузии, хотя наличие ветра может усложнить условия их распространения. Транспорт феромонов подробно рассмотрен в [352]. Ниже мы будем интересоваться не транспортом феромонов, а движением массы животных под влиянием изменения концентрации феромона.
Пусть модель содержит две пространственные области — область, где скапливается саранча, и остальное рассматриваемое пространство. Концентрацию особей саранчи в первой области (без разделения на личинок и взрослых) обозначим через во второй — через хг. Поток саранчи (еди-ниц/ед. времени) обозначим через yi2. Перелет саранчи начинается при превышении концентрацией феромона (которую обозначим символом хз) некоторого предельного значения Хз. Тогда уравнения системы имеют вид
где а и к — положительные коэффициенты. Здесь принято для простоты, что а) доля взрослых саранчуков в общей популяции постоянна (темп производства феромона пропорционален плотности популяции *i); б) феромон исчезает с темпом, пропорциональным своей концентрации х$.
Чтобы отразить влияние условий среды о, надо ввести нелинейные зависимости ац — an(tf), а перелет определить условием
Катастрофический характер миграции саранчи объясняется существенно нелинейным характером зависимости ухг от концентрации Хз, что воспроизводится в модели уравнением (6.25). Модель имеет три компартмента при рассмотрении двух пространственных областей.
Конвективный транспорт (перенос компонент носителями). Часто в биосистемах та или иная компонента может переходить из компартмента в компартмент не непосредственно, а с помощью некоторых переносчиков. Например, в организме кислород из атмосферы в кровь попадает с вздыхаемым воздухом, а из крови к органам переносится с потоком крови. Тот же поток крови переносит и тепловую энергию от компартмента к компартменту, а выдыхаемый воздух уносит тепло в окружающую среду. На экологическом уровне такие процессы имеют место, например, при переносе семян растений ветром или животными. Уменьшение интенсивности потока носителя в этом случае приводит к уменьшению
Х\ = ацХ — к\\У\г, Хг = кцУ\г,
Х$ = Д32* 1 — Дз3*3»
(6.24)
(6.25)
темпов переноса рассматриваемых компонент. Иногда такое сокращение может оказаться трагическим для переносимой компоненты. Так, предполагают, что причиной вымирания водяного ореха в эпоху голоцена было сокращение численности крупных животных, которые служили переносчиками плодов ореха [236]. В эпидемических процессах перенос возбудителя происходит также с носителем, роль которого иногда играют транспортные потоки [24, 303].
Конвективный перенос в физических явлениях имеет место в том случае, когда переносимое вещество находится в движущейся жидкости или газе. Результирующее движение вещества называется конвективным транспортом.
Если через некоторую поверхность идет нормальный поток жидкости или газа с объемной скоростью и, то
/Укоиз == ей, (6.26)
где г/коив — темп перемещения вещества с конвекцией, а с — концентрация вещества в носителе. Для трехмерного случая аналогично тому, как это имело место при рассмотрении диффузии, можно записать уравнение конвективной диффузии
-? + ^-М + !гМ+^Г(ш)-04с, (6.27)
где D — констанга, и=[и v w]T — трехмерный вектор скоростей вдоль осей х, у, г. Если вектор и — константа, то из (6.27) получаем
-|?- + ц. Vc = DAc, (6.28)
где оператор «-V определяется следующим образом:
u'4^u~k + v-k + Wl^' (6‘29)
т. е. конвективный транспорт описывается обычным уравнением диффузии (6.10), в котором появляется добавочный член, отражающий вклад конвекции.
В компартментальных моделях обычно достаточно использовать уравнение переноса вещества с носителями, записанное в виде
У = Qx, (6.30)
