Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
-37- = D Ас, (6.10)
где оператор А определяется следующим образом:
Л = ^ + <6Л1>
Цели концентрация имеет ненулевой градиент только вдоль оси х, то получается второй закон диффузии Фика:
<6Л2>
Очевидно, использованное выше уравнение непрерывности является лишь частным случаем закона сохранения массы. Если обозначить через /щ и /01 потоки вещества, входящие в некоторый объем пространства и выходящие из него, то получаем
обычное уравнение сохранения массы
•$- = /10-/01. (6.13)
Это принципиальное соотношение в различных источниках называется по-разному. Часто для него используется название принцип Фика, а в теории открытых систем оно известно как уравнение Берталанфи.
При компартментальной анализе обычно используется следующее описание процессов диффузии. Пусть система содержит п компартментов, и xi — уровень или концентрация некоторой компоненты в t-м компартменте. Тогда процессы переноса компоненты, вызванные различием концентрации (уровней вещества или энергии) в разных компартментах и в окружающей среде, описываются линейными дифференциальными уравнениями
1 ^ kl(l
1j ka(xI — xi) + -v^(v — xi)> 1=1,2.........я, (6.14)
где (Xj — Xi) — разность уровней вещества или концентраций, kij — постоянные неотрицательные коэффициенты, v — уровень или концентрация рассматриваемой компоненты в окружающей среде, Vi — объем t'-ro компартмента.
Уравнения (6.14) можно переписать в векторном виде, если ввести векторы х [xi х2 ... 1»]ти»-[с]:
где х ^ О, v ^ О (обычные условия неотрицательности концентраций), а матрицы Ацпхп) и Вцпхи имеют следующие элементы:
а,7
_ kn Vt ’
(6.16)
fe?0
Кроме процессов диффузии в модели можно учесть и компоненты, появляющиеся в ее компартментах в силу других причин: некоторое вещество (или энергия) может поступать или
у“fkts
У1
tft
д;
Рис. 6.2. Схема компартментальной модели, а) Условное обозначение схемы, где xt> х2, хп — концентрации рассматриваемой компоненты в компартментах, yv у2, ...,уп — приток компоненты извне, k^ — коэффициенты, определяющие темпы диффузии; б) изображение при помощи матриц. Здесь х, у, v — векторы концентраций, притоков и условий
среды, соответственно.
удаляться из системы в ходе химических или физических процессов. Так, в системе теплообмена (разд. 5.8) учитывается тепловая энергия, выделяющаяся в ходе процессов метаболизма в различных частях системы. Обозначая темп поступления рассматриваемой компоненты в i-й компартмент через t/i и вводя вектор
У = [У\ У2 • • • уп]\ (6.17)
Юолучаем уравнение линейной компартментальной модели в виде х — А\Х -f- B\V -f- R\y, (6.18)
где Ri(nxn) — диагональная матрица с элементами
1
(6.19)
Матрица R позволяет по количеству компоненты, поступившей извне, определить ее концентрацию в i-м компартменте.
Схема такой модели представлена на рис. 6.2.
Пример 6 2.1. В системе пассивного теплообмена (разд. 5.8) можно разделить вектор входов (5.75) на два вектора, как это сделано в (5.77), (5.81). Тогда, добавив компоненту и>\ в вектор ш, получаем для у из (6.17) и и из (6.14)
У = ®(ЗХ 1) = [ш1 W2 ®з]Т-и= и(1 X 1)=[Ч
и в уравнении (6 18) матрицы принимают следующий вид:
k\ + &2
(6.20)
А1 =
Т1 Т*
В,
Г kJTl 1 - 2 .
&2 0
Тх
(&2 + кг) кг
т2 Т2
кг кг
Тг т3 _
Г 1/7-1 0 0
° 1/7* 0
L о 0 1/7'з
(6.21)
«Объем» пространственного элемента структуры в данном случае характеризуется коэффициентом пересчета накопленного тепла в изменение температуры, Ti = c,pd, (см. разд. 5.8).
Уравнение диффузии, записываемое в виде У12== — k (Cj Сг),
(6.22)
где у 12 — поток вещества в компартмент 1 из компартмента 2, с 1 и с2—концентрации вещества в этих компартментах, k — коэффициент, определяемый свойствами «границы» между ком-партментами, наиболее часто используется при моделировании. Линейное уравнение (6.22) дает простейшую гипотезу о характере процессов транспортного обмена между компартментами в тех случаях, когда природа и механизмы транспорта неизвестны.
Нелинейные процессы переноса компонент. Использование линейных уравнений диффузии в форме (6.18) позволяет описать достаточно широкий класс явлений физического переноса компонент биосистемы.
