Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В этом примере набор выходных переменных мы выбирали сами. На практике, однако, дело часто обстоит иначе. Вектор выходов не задается исследователем, как это было в рассмотренном случае, а определяется возможностями его экспериментальной установки, например, наличием регистрирующей или измерительной аппаратуры. Пусть, в частности, исследователя интересует измерение всех переменных состояния, а имеется возможность регистрации только одной температуры кожи х\. Выясним, наблюдаема ли система в этом случае.
Матрица С имеет вид
С(зхп = [1 0 0]. (5.96)
Ее ранг равен единице, и поэтому придется выписывать и исследовать всю матрицу (5.73). (Если бы ранг С был равен трем, что возможно при трех и более выходных сигналах, мы бы сразу сделали вывод, что система наблюдаема.) Имеем
Лт =
к\ ~Ь к% Т1
к*
Т |
кг
Т2
кг + к3
Т2
Тг
0
кз Тз кз " Тз
(5.97)
Умножая Ст слева на Лт, получаем второй столбец, а умножая его еще раз слева на Лт, — и третий столбец искомой матрицы
(5.73). Она, следовательно, имеет вид [Ст ЛТСТ (ЛТ)2СТ] =
k\ + k2
1 -О
о
TI(kl + k2y + kjTl
rp‘2rp<X 1 1У2
7~2&2 -f- kj) — Т\kj (kj kz)
т*т2
kvkz
T,T2
(5.98)
Ее определитель
det [Ст ЛТСТ (ЛТ)2СТ];
k2k
tit.
>0,
(5.99)
Г 2
поэтому ее ранг равен трем, и система полностью наблюдаема.
Это означает, что, регистрируя процесс изменения во времени температуры кожи, исследователь может в пределах выбранной модели определить также и текущие значения температуры мышц и ядра.
КОМПАРТМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ЖИВЫХ СИСТЕМ
6.1. Определения
При описании биологических систем оказывается, что в них можно выделить некоторые относительно независимые количества или объемы вещества, участвующие в кинетических процессах как некое целое, легко выделяемое из остальной системы. При математическом описании предполагается, что эти количества вещества равномерно распределены в некоторых объемах пространства, так что их концентрация постоянна, т. е.
¦^- = 0, (6.1)
где с — концентрация рассматриваемого вещества, xi, i— 1, 2,
3, — пространственные координаты. Удобным способом изучения таких систем стал компартментальный анализ [317], основным элементом которого является понятие компартмента.
Обычно компартментом называется некоторое количество вещества, выступающее в процессах транспорта и обмена как самостоятельная единица. В общем случае компартментом можно назвать «вещество, характеризующееся некоторой количественной мерой». Как правило, компартмент описывается массой или концентрацией рассматриваемого вещества или объемом, который оно занимает в пространстве.
Модели биологических систем, в которых используется цред-ставление о компартментах, называются компартментальными моделями. Такие модели, как правило, используются для исследования процессов переноса вещества и энергии внутри живой системы и обмена их со средой. В этом случае компартментам приписывается пространственная характеристика: компартменту соответствует некоторая область или объем в биосистеме.
Так, в физиологических системах организма можно выделить области, различающиеся по концентрации каких-либо веществ или энергии (в модели системы дыхания Ф. Гродинза (см. разд. 5.2) таких областей две — легочный и тканевый резервуары, отличающиеся концентрацией кислорода; в рассмотренной в разд. 5.8 модели пассивного теплообмена — три области,
различающиеся температурой и т. д.). В водных экосистемах можно производить разделение на области акватории или по глубинным слоям. Например, в модели экосистемы Азовского моря [58] таких областей семь. В экосистемах в каждой области равномерно распределенными компонентами являются различные виды или возрастно-половые группы. В фармакокинетических моделях (применяемых для исследования действия лекарственных средств на различные органы) области определяются тем, насколько равномерно концентрируются фармакологические вещества в тканях [267], и их может быть довольно много.
В других случаях в качестве компартментов рассматриваются взаимодействующие друг с другом вещества (или другие компоненты биосистемы), находящиеся в одном и том же объеме. Тогда кинетика реакций также описывается с помощью компартментальных моделей, а различным компартментам отвечают количества или концентрации различных веществ в одной и той же пространственной области. Так, в тканях и жидкостях тела происходят многочисленные реакции между химическими веществами, и участвующие в них субстраты, ферменты и продукты могут рассматриваться как различные компартменты. В моделях наземных экологических систем часто делается допущение, что все исследуемые процессы происходят на некоторой ограниченной территории (иногда, как в классической модели экологических систем — модели Вольтерра, такое допущение делается неявно), и в качестве компартментов выступают численности или плотности различных видов или возрастных групп животных.
