Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Новосельцев В.Н. -> "Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств" -> 66

Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.

Новосельцев В.Н. Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств — Наука , 1978. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaupravleniyabiosistemi1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 137 >> Следующая

о —1 Я + 2 J
откуда (Я + 2)3 — 2(Я + 2)=0, и корни характеристического уравнения легко находятся: Xi = —2, Я2,з =—1 ± j. Действительные части всех трех корней (—2 и —1) лежат в левой полуплоскости, и система асимптотически устойчива.
Стационарный режим системы. Поскольку система устойчива, имеет смысл говорить об исследовании стационарного режима х = —A~xBv согласно (5.50).
Найдем обратную матрицу Л-1 (для сложных систем эта операция также может быть поручена вычислительным маши-
нам).
Для
k\k2k3
Г,Г,Г3
матрицы А, определяемой (5.79), имеем det Л
и, вычисляя Adj А согласно (5.21), находим
Л'
Л
k\
Л
k{
г,
k\
-II
kt
Т2 (fe, + к,) k | k2 T2 (k\ -+ k2) klk.
_____T\
k\
T3(ki+ kf) k{k2
Тз (k\k2 k\kj -f- k2kz)
k\k 2^3
(5.89)
Найдем теперь стационарное значение х, вычисляя сначала Bv для 5(зХ1) из (5.80) и и из (5.77), а затем A~lBv. Получаем
Bv =
ki
Г,
0
1
Tt
о
о
Т3
Mt
г,
Г»1 - W2
I W2 1 -- Т2
L J ш3
_ т3 _
(5.90)
и трехмерный вектор-столбец х имеет вид
A~{Bv =
«1 & 1
V\ + V, +
k\ Ч~ кг k\ki k\ Ч~ k2 k<k2
. k\ + k2 w2 И-------------ГТ---------шз
W 2 +
k\k%
k\k2 + k\k% + к2кз
k\k2k3
ш3
(5.91)
Имея в явном виде вектор состояния х, можно по матрице наблюдений состояния системы С(6хз) и матрице наблюдений входов D(бхп (5.87) получить стационарное значение выхода системы (5.86). Предоставим выполнение этой операции читателю.
Чувствительность. Чувствительность стационарного ре.¦ жима (5.91) к вектору стационарных значений входов показывает, насколько смещается стационарный режим системы пассивного теплообмена при переходе организма от одних условий среды Vi к другим или от одной интенсивности физической
нагрузки w2 к другой. Считается, что после такого перехода должно пройти время, достаточное для затухания переходных процессов в системе.
Согласно (5.63) чувствительность вектора х размерности 3 к вектору о размерности 3 есть матрица — А~1В размерности (3X3). Умножив А~1 из (5.89) на В из (5.79), получаем
dt
= — А~ В
“ дх< дх\ дх\ 1 1 1
dvt ди>г dw з k\ k\
дх2 дх2 дХ2 1 k\ + k2 k\ + k2
dvi ди>г дшъ feik2 k\k%
дх3 дх3 дх3 1 k\ + k2 k\k2 + k\k3 + k2k3
dvt dw2 dw3 k{k2 k\k2k3 _
(5.92)
Легко видеть, что коэффициенты чувствительности, составляющие матрицу чувствительности (5.92), можно получить и непосредственно из (5.91), продифференцировав выражения, стоящие в матрице в первой, второй и третьей строке, сначала по «1, потом по w2 и, наконец, по аи3. Уравнение (5.92) свидетельствует, в частности, о том, что при изменении температуры окружающей среды температура всех слоев тела сильно меняется:
дх\ ____ дх2 ______ дх3 ______^
dv
dvi
dvt
(5.93)
Наблюдаемость и управляемость. Имея явное решение уравнений системы в виде (5.91) для стационарного режима, нет смысла проводить исследование управляемости по методам, описанным в разд. 5.7. Действительно, из выражения (5.91) очевидно, что каждая переменная состояния явно зависит от всех входов, так что каждая переменная состояния управляема, и поэтому система полностью управляема.
Тем не менее для иллюстрации применения методов анализа управляемости определим ранг матрицы (5.72). Для полной управляемости требуется, чтобы ее ранг был равен трем. Начинаем составлять эту матрицу. Первые ее три столбца берутся из матрицы связи В<3х3), определяемой (5.79), вторые три —из матрицы (ЛВ)(зхз), имеющей вид
АВ —
k2) k2 0
T\ T{T2
kik2 k2 + &3 k3
TJ2 4 T2T3
0 кз
т2тъ T2
1 3
(5.94)
Гогда первые 6 столбцов матрицы (5.72) получаем в виде
ki
h
о
о
k\ (k\ + кг)
к\кг
т,т2
TJ 2
k2 + кг
T2T3
кг
7^2
, (5.95)
и очевидно, что уже из них можно составить минор третьего порядка, отличный от нуля (например, это три первых столбца или второй, третий и четвертый столбцы) — система полностью управляема.
Наблюдаемость системы в данном случае зависела от нас. Выбором достаточного числа выходов, т. е. заданием матрицы QбХз) в (5.87) мы достигли того, что переменные выхода зависят от всех переменных состояния. Тем самым все переменные состояния представлены на выходе, и система полностью наблюдаема. При желании, однако, можно убедиться и в выполнении условий наблюдаемости, вычислив ранг матрицы (5.73) подобно тому, как мы определили ранг матрицы (5.72).
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed